Gegeben ist ein spitzwinkliges Dreieck [i]ABC[/i] mit den Höhenfußpunkten[i] D, E[/i] und [i]F [/i]auf den Seiten [i]BC, AC [/i]bzw. [i]AB[/i]. Der Punkt [i]S [/i]sei der Schnittpunkt der Geraden [i]EF [/i]mit der Geraden [i]g[/i], die auf [i]AC [/i]senkrecht steht und durch [i]D [/i]verläuft.
Verändere das Dreieck indem du seine Eckpunkte verschiebst und beobachte die eingezeichneten Winkel [math]\angle CFS[/math]und [math]\angle CDS[/math]. Was fällt dir auf? Formuliere deine Vermutung!
Die Winkel [math]\angle CFS[/math] und [math]\angle CDS[/math] sind gleich groß.
Beobachte beim Verändern der Figur das Dreieck [i]EDS[/i]. Was fällt dir auf? Formuliere deine Vermutung!
[i]EDS [/i]ist ein gleichschenkliges Dreieck. Die Seiten [i]ES [/i]und [i]ED [/i]sind gleich lang.
Findest du rechtwinklige Dreiecke?
Warum sind diese Dreiecke rechtwinklig? Begründe!
[i]D, E[/i] und [i]F [/i]sind Höhenfußpunkte im Dreieck [i]ABC[/i]. Die Höhen stehen senkrecht auf den Seiten eines Dreiecks. Dadurch bilden sie zusammen mit den Seiten des Dreiecks [i]ABC [/i]rechtwinklige Dreiecke.[br][br]Der Punkt [i]G [/i]ist der Schnittpunkt der Geraden durch [i]S[/i], die senkrecht auf [i]AC [/i]steht. Der Winkel [math]\angle[/math][i]DGC [/i]ist somit rechtwinklig.
[i]FBC [/i]und [i]EBC [/i]sind rechtwinklige Dreiecke über der Strecke [i]BC[/i].[br][br]Was passiert mit den vier Punkten, wenn ein Halbkreis über der Strecke [i]BC [/i]gezogen wird?[br]Formuliere deine Vermutung![br][br]Konstruiere diesen anschließend zur Überprüfung mit dem Werkzeug [i]Halbkreis durch 2 Punkte.[/i]
Alle vier Punkte liegen auf dem (Halb-) Kreis. [i]BC [/i]ist der Radius des Kreises
Kennst du einen Satz zu diesem Halbkreis?
Satz des Thales:[br]Hat ein Dreieck [i]ABC[/i] bei [i]C [/i]einen rechten Winkel, so liegt [i]C [/i]auf dem Kreis mit Durchmesser [i]AB[/i].
Welches besondere Viereck ist das Viereck [i]EFBC[/i]?
Das Viereck [i]EFBC [/i]ist ein Sehnenviereck. Alle vier Eckpunkte liegen auf einem Kreisbogen.
Was gilt in einem solchen Viereck?[br][br][br][br][br][br][br]Hinweis: Trage die Winkel in dem Viereck [i]EFBC [/i]ein und beobachte, wie sie sich verändern, wenn du die Figur veränderst!
Nutze diese Tatsache, um im Folgenden zu begründen, dass die Winkel [math]\angle CDS[/math] und [math]\angle CFS[/math] gleich groß sind!
Wie groß ist [math]\angle CFS[/math]?[br]Stelle einen Term für die Winkelgröße auf!
Die Winkel [math]\angle EFB[/math]und [math]\angle BCE[/math]ergänzen sich im Sehnenviereck zu [i]180°[/i]. Demnach ist [math]\angle EFB[/math][i]=[/i][math]180°-\gamma[/math][i]. [/i] Der Term für die gesuchte Winkelgröße ist also: [br][i][math]\left|\angle CFS\right|=180°-90°-\gamma=90°-\gamma[/math][/i][br]
Wie groß ist [math]\angle CDS[/math]? Stelle einen Term für die Winkelgröße auf und zeige, dass [math]\angle CDS[/math] und [math]\angle CFS[/math] gleich groß sind!
[br]Der Winkel [math]\angle CDS[/math]befindet sich in dem rechtwinkligen Dreieck [i]GDC.[/i] Für die Winkelgröße gilt:[br][math]\left|\angle CDS\right|=180°-90°-\gamma=90°-\gamma[/math] [br][br]Es ist also [math]\left|\angle CFS\right|=\left|\angle CDS\right|=90°-\gamma[/math]