ピタゴラスの定理とその拡張

Bunryu Kamimura, Jun 26, 2015

ピタゴラスの定理は直角三角形についてのもの。 これをどのようにしたら拡張できるのか。 『ピタゴラスの世界』 [url]http://hamaguri.sakura.ne.jp/pytagorasu1.html[/url] 『拡張するから面白い（ピタゴラスの定理の拡張』 [url]http://hamaguri.sakura.ne.jp/pithagokakutyou.html[/url]

Table of Contents

  1. ピタゴラスの定理の証明
    1. 二つの正方形 proof of Pythagorean theorem
    2. ピタゴラスの定理の証明 proof of Pythagorean theorem
  2. ピタゴラスの定理の拡張　その１
    1. ヒポクラテスの定理Hippocrates's theorem
    2. パップスの定理Pappus's Theorem
    3. プトレミーの定理
  3. ピタゴラスの定理の拡張　その２
    1. 余弦定理Cosine theorem
    2. 余弦定理とピタゴラスの定理
    3. 余弦定理の発見
    4. ピタゴラスの定理の拡張 Pythagorean extension theorem
    5. ピタゴラスの拡張定理の証明
    6. 中線定理
    7. 中線定理のベクトルによる証明
    8. 平方の和が一定な点の位置
    9. 四角形におけるピタゴラスの定理の拡張
  4. ピタゴラスの定理の拡張　その３
    1. 頂垂線
    2. 垂線が一点に会する条件
    3. 垂線の性質
    4. 垂線の性質２
    5. ピタゴラスの定理の拡張（その１）
    6. ピタゴラスの定理の拡張（その２）
    7. 垂線の性質（四角形面積の等分）
  5. ピタゴラスの定理の空間への拡張
    1. 直角三角錐についてのピタゴラスの定理
    2. 球面三角法におけるピタゴラスの定理
  6. ピタゴラスの定理の応用
    1. 特殊相対性理論 Special relativity
    2. 富士山の実際の高さ
    3. 震央と震源
    4. オーベルの定理　Van Aubel's theorem
    5. ThreeSquaresInAHexagon
    6. フェルマー三角形におけるピタゴラスの定理
    7. フェルマー三角形の等分
    8. √ｎの作図

1.

ピタゴラスの定理の証明

ピタゴラスの定理のアプレットによる証明です。 動かすことが成り立っていることの証明ですが、 もっと大事なことは、このように作図することができることが、 証明になっていることです。 たくさんの証明があり、ここでは二つだけ載せました。 [url]https://www.geogebra.org/m/XUjDX2A2[/url]を見てください。

  • 1. 二つの正方形 proof of Pythagorean theorem
  • 2. ピタゴラスの定理の証明 proof of Pythagorean theorem

1.1.

二つの正方形 proof of Pythagorean theorem

ピタゴラスの定理[br]二つの正方形を合わせます。[br]Cをつまんで動かしてみてください。
二つの正方形 proof of Pythagorean theorem
– Bunryu Kamimura

1.2.

–

2.

ピタゴラスの定理の拡張　その１

ピタゴラスの定理はどんな形でも成り立ちます。 円にすると、三日月が浮かび上がってきます。 平行四辺形にすると、もっと不思議なことが浮かび上がってきます。

  • 1. ヒポクラテスの定理Hippocrates's theorem
  • 2. パップスの定理Pappus's Theorem
  • 3. プトレミーの定理

2.1.

ヒポクラテスの定理Hippocrates's theorem

ピタゴラスの定理の拡張 ヒポクラテスの定理
– Bunryu Kamimura

2.2.

–

2.3.

–

3.

ピタゴラスの定理の拡張　その２

余弦定理をさらに拡張すると・・・とても面白いことが現れてきます。 あくまで正方形にこだわって拡張してみました。 ポイントは中線定理で、ここから自然に作図できます。 さらに三角形から四角形に拡張します。

  • 1. 余弦定理Cosine theorem
  • 2. 余弦定理とピタゴラスの定理
  • 3. 余弦定理の発見
  • 4. ピタゴラスの定理の拡張 Pythagorean extension theorem
  • 5. ピタゴラスの拡張定理の証明
  • 6. 中線定理
  • 7. 中線定理のベクトルによる証明
  • 8. 平方の和が一定な点の位置
  • 9. 四角形におけるピタゴラスの定理の拡張

3.1.

余弦定理Cosine theorem

余弦定理（ピタゴラスの定理の拡張）ＫＮ＝２ＥＧ＝２AEcosE
– Bunryu Kamimura

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

3.9.

–

4.

ピタゴラスの定理の拡張　その３

ピタゴラスの定理の本質は何だろうか？ それは三角形に於いて、３垂線が３つの正方形の合計を等分するということであり、ピタゴラスの定理はその一つの現象である。 そのことを示してみたい。 証明に使うのは三角形の相似比のみ。

  • 1. 頂垂線
  • 2. 垂線が一点に会する条件
  • 3. 垂線の性質
  • 4. 垂線の性質２
  • 5. ピタゴラスの定理の拡張（その１）
  • 6. ピタゴラスの定理の拡張（その２）
  • 7. 垂線の性質（四角形面積の等分）

4.1.

頂垂線

Hは垂点。a^2+b^2+c^2=a'^2+b'^2+c'^2。ピタゴラスの定理の直接の拡張ではないけど、三角形と正方形の関係でつながっている。
– Bunryu Kamimura

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

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4.5.

–

4.6.

–

4.7.

–

5.

ピタゴラスの定理の空間への拡張

直角三角錐についてのついてのピタゴラスの定理

  • 1. 直角三角錐についてのピタゴラスの定理
  • 2. 球面三角法におけるピタゴラスの定理

5.1.

直角三角錐についてのピタゴラスの定理

簡単に証明できます。ＣＤはすぐにわかります。ＢＥの長さを求めてみましょう。
– Bunryu Kamimura

5.2.

–

6.

ピタゴラスの定理の応用

ピタゴラスの定理は空間の基本原理であり、応用も広いです。 これは特殊相対論への応用です。 さらに、ローレンツ収縮の図式化です。 その他いろいろあります。 探してみましょう。

  • 1. 特殊相対性理論 Special relativity
  • 2. 富士山の実際の高さ
  • 3. 震央と震源
  • 4. オーベルの定理　Van Aubel's theorem
  • 5. ThreeSquaresInAHexagon
  • 6. フェルマー三角形におけるピタゴラスの定理
  • 7. フェルマー三角形の等分
  • 8. √ｎの作図

6.1.

特殊相対性理論 Special relativity

特殊相対性理論・・・ターレスと定理と円線図[br]中学生にもわかる特殊相対性理論[url]http://sky.geocities.jp/bunryu1011/soutaiseiriron.htm[/url][br] ＯＡは光の進んだ距離（速さc）。ＡＢは宇宙船の進んだ距離（速さv）。[br] ＯＢは宇宙船の中の光時計の高さ。[br] ＯＡに対するＯＢが時間の遅れ。[br]　Ｂをつまんで動かしてみよう。
– Bunryu Kamimura

6.2.

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6.3.

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6.4.

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6.5.

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6.6.

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6.7.

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6.8.

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