Funciones Elementales

Álvaro Molina Ayuso, Jan 7, 2015

Este libro se presenta como un recurso didáctico para trabajar en el aula los contenidos relacionados con Funciones Elementales de variable Real. Trabajar con funciones de variable real no es nuevo para el alumno de este curso. De la etapa anterior debe tener un manejo analítico con distintas expresiones que vamos a ver en esta unidad. Si bien, vamos a englobar todo esto dentro del formalismo que se requiere para este nivel académico procurando afianzar el aprendizaje de estos contenidos. Estamos enfocando nuestra labor educativa a la mejora de los conocimientos de cara al segundo curso de bachillerato y para estudios posteriores, así como para distintas situaciones de la vida cotidiana. De la misma forma, se justifica la importancia de esta unidad por su carácter transversal, ya que el uso de las funciones que se van a trabajar en este tema son de uso frecuente en materias como Física, Química, Economía o Biología.

Table of Contents

  1. Funciones Polinómicas.
    1. Función Lineal
    2. Función Cuadrática
    3. Función Polinómica de tercer grado
  2. Función de proporcionalidad inversa.
    1. Función de proporcionalidad inversa
    2. Función de proporcionalidad inversa (2)
    3. Función de proporcionalidad inversa (3)
  3. Funciones trascendentes. Función exponencial y logarítmica.
    1. Función Exponencial
    2. Función logarítmica
  4. Funciones trascendentes. Funciones trigonométricas.
    1. Circunferencia goniométrica
    2. Función seno
    3. Función coseno
  5. Transformaciones de una función
    1. Desplazamiento vertical de una función
    2. Desplazamiento horizontal de una función
  6. Resolución de problemas
    1. Problema 1
    2. Problema 2

1.

Funciones Polinómicas.

La función polinómica es una función de la forma: [math]f(x)=a_n · x^{n}+a_{n-1}·x^{n-1}+...+a_1·x+a_0[/math] Los coeficientes [math]a_i[/math] son los denominados coeficientes del polinomio y n el grado del polinomio. Según el grado del polinomio, hablaremos de distintos tipos de funciones polinómicas.

  • 1. Función Lineal
  • 2. Función Cuadrática
  • 3. Función Polinómica de tercer grado

1.1.

Función Lineal

Una función lineal es una función polinómica de grado n=1. Tiene la forma f(x)=m·x+n. El coeficiente [i]m[/i] es la pendiente de la recta y [i]n[/i] corresponde con el valor de la ordenada en el origen.[br][br]En la siguiente hoja de trabajo, encontrarás la representación de una función lineal en función de los parámetros m y n que puedes modificar con los deslizadores que encontrarás en la parte derecha.[br][br]Contesta a las preguntas que encontrarás a continuación:
Función Lineal
a) ¿Cuál es el dominio e imagen de la función?[br][br] b) ¿Qué ocurre al variar el valor de m?[br][br] c) ¿Cómo es la función para valores de m<0? ¿Y para m>0?[br][br] d) ¿Cómo es la función cuando m=0?[br][br] e) ¿Cuál es la interpretación gráfica de la variación de n?[br][br] f) ¿Cuál es la característica común para cualquier valor de m si n=0?
– Álvaro Molina Ayuso

1.2.

–

1.3.

–

2.

Función de proporcionalidad inversa.

La función de proporcionalidad inversa relaciona dos magnitudes inversamente proporcionales. Su expresión algebraica es de la forma: [math]f(x)=\frac{k}{x}[/math] con [math]k \neq 0[/math]

  • 1. Función de proporcionalidad inversa
  • 2. Función de proporcionalidad inversa (2)
  • 3. Función de proporcionalidad inversa (3)

2.1.

Función de proporcionalidad inversa

En la siguiente hoja de trabajo encontrarás una representación gráfica de la función de proporcionalidad inversa en función del parámetro k que podrás modificar con el deslizador que encontrarás en la parte derecha. [br][br]Contesta a las preguntas que encontrarás a continuación.
Función de proporcionalidad inversa
a) ¿Cuál es el dominio y recorrido de la función?[br][br] b) ¿En qué influye el signo de k? Estudia la monotonía de la función para k>0 y k<0.[br][br] c) ¿Cómo es la simetría de esta función?
– Álvaro Molina Ayuso

2.2.

–

2.3.

–

3.

Funciones trascendentes. Función exponencial y logarítmica.

Una función trascendente es una función que no satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes sean a su vez polinomios. El logaritmo y la función exponencial son ejemplos de funciones trascendentes. El término función trascendente a menudo es utilizado para describir a las funciones trigonométricas, o sea, seno, coseno, tangente. A continuación, trabajaremos este tipo de funciones con los siguientes recursos.

  • 1. Función Exponencial
  • 2. Función logarítmica

3.1.

Función Exponencial

Las funciones exponenciales nos sirven para describir fenómenos de rápido crecimiento o decrecimiento.[br][br]Llamamos función exponencial de base a a las funciones de la forma [math]f(x)=a^x[/math] con [math]a \in \Re[/math] tal que a>0 y [math]a \neq 1[/math].[br][br]En la siguiente hoja de trabajo encontrarás una representación de lafunción exponencial [math]f(x)=a^x[/math] donde podrás modificar el valor de la base [i]a[/i] con el deslizador que encontrarás a la derecha.[br][br]Contesta a las preguntas que encontrarás a continuación.
Función Exponencial
a) ¿Qué ocurre para el valor de a=1?[br][br] b) ¿Cuál es el dominio de la función? ¿Y su imagen?[br][br] c) ¿Depende el dominio y la imagen del valor de la base a?[br][br] d) Calcula los puntos de corte con los ejes. ¿Qué ocurre con el punto de corte con el eje Y para cualquier valor de a?[br][br] e) Estudia la monotonía y acotación de la función a partir de los valores distinguiendo para a>1 y 0<a<1. [br][br] f) Explica la relación que hay entre la función exponencial [math]f(x)=a^x[/math] y la de base [math]g(x)=(\frac{1}{a})^x[/math]. Para ello, representa en el mismo plano ambas funciones a partir del deslizador a .
– Álvaro Molina Ayuso

3.2.

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4.

Funciones trascendentes. Funciones trigonométricas.

Vamos a analizar la representación gráfica de la función seno, coseno y tangente. Para ello, comenzaremos haciendo un estudio del valor de las razones trigonométricas de un ángulo a partir de la circunferencia goniométrica.

  • 1. Circunferencia goniométrica
  • 2. Función seno
  • 3. Función coseno

4.1.

Circunferencia goniométrica

La circunferencia goniométrica, trigonométrica, unitaria o «círculo unidad» es una circunferencia de radio uno, normalmente con su centro en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas.[br][br]Dicha circunferencia se utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas y funciones trigonométricas, mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares.[br][br]Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad del primer cuadrante, entonces x e y son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud 1. Aplicando el teorema de Pitágoras, x e y satisfacen la ecuación [math]x^2 + y^2 = 1[/math] .[br][br]En la siguiente hoja de trabajo encontrarás una representación de la circunferencia goniométrica tal que podrás variar el valor del ángulo desplanzando el punto (x, y) sobre la circunferencia. Cuando el valor de la razón trigonométrica sea positivo, este aparecerá en azul. Si es negativo aparecerá en rojo.[br][br][br][list][br][*]El valor del seno del ángulo coincide con la longitud del cateto opuesto en el triángulo rectángulo.[br][/list][br][br][list][br][*]El valor del coseno del ángulo coincide con la longitud del cateto contiguo en el triángulo rectángulo.[br][/list][br][br][list][br][*]El valor de la tangente del ángulo lo obtenemos como cociente entre el seno y el coseno.[br][/list]
Circunferencia goniométrica
a) Identifica las razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º. ¿Qué relación encuentras entre las razones de 30º y 60º? [br][br]b) Construye una tabla con las razones trigonométricas de 0º, 90º, 180º, 270º y 360º.
– Álvaro Molina Ayuso

4.2.

–

4.3.

–

5.

Transformaciones de una función

  • 1. Desplazamiento vertical de una función
  • 2. Desplazamiento horizontal de una función

5.1.

Desplazamiento vertical de una función

Sea una función real f(x) y una constante k [math]\in \Re[/math], la función resultante de [math]f(x) \pm[/math] k corresponde con una traslación vertical de la función f(x).[br][br]En la siguiente hoja de trabajo encontrarás una representación gráfica de la función seno. Con el deslizador que hay en la parte derecha puedes variar el valor de la constante k para ver el resultado de [math]f(x) \pm[/math] k.
Desplazamiento vertical de una función
¿Por qué la representación gráfica de una función f(x) sufre un desplazamiento vertical cuando calculamos [math]f(x) \pm k[/math] ?
– Álvaro Molina Ayuso

5.2.

–

6.

Resolución de problemas

Resuelve los siguientes problemas utilizando una construcción de Geogebra siguiendo las indicaciones de cada apartado.

  • 1. Problema 1
  • 2. Problema 2

6.1.

Problema 1

Tiro parabólico
Una pelota es lanzada verticalmente desde lo alto de un edificio de manera que cae cerca de la base del edifcio. La altura de la pelota en cada instante de tiempo t viene dada por la función cuadrática h(t)=80+64t-16t² (t en segundos y h en metros).[br][br]a) Representa la función h(x)=80+64x-16x² en la siguiente ventana de Geogebra en el intervalo [0, 5].[br][br] → Utiliza el comando [i] Función[h(x),0,5]. [/i][br][br]b) Representa gráficamente el punto que corresponde a la altura del edificio. [br][br]c) Representa gráficamente el punto que corresponde a la altura máxima que alcanza la pelota. ¿Con qué punto de la parábola corresponde?
Problema 1
– Álvaro Molina Ayuso

6.2.

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