[i][color=#ff0000][size=85][right]Sorry! Dieses Applet benötigt lange Ladezeiten![/right][/size][/color][/i]Die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] [math]\mathbf J[/math] berechnet sich aus dem Doppelverhältnis [math]d=Dv\left(z,-z,\frac{1}{z},-\frac{1}{z}\right)[/math]:[br] [math]\mathbf J\left(z\right)=\frac{1}{27}\left(\frac{d+1}{d-1}\right)^2\cdot\left(\frac{d-2}{d}\right)^2\cdot\left(2\cdot d-1\right)^2[/math] (im Applet ist [math]\mathbf J\left(z\right)=\mathbf {AJot_Z}[/math]).[br][list][*] [math]\mathbf J\left(z\right)[/math] ist reell und nicht-negativ, wenn [math]z[/math] auf einer der Achsen oder auf dem Einheitskreis liegt. [br]Die Punkte [math]z,-z,\frac{1}{z},-\frac{1}{z}[/math] sind dann konzyklisch.[/*][*] [math]\mathbf J\left(z\right)[/math] ist reell und es ist [math]\mathbf J\left(z\right)\le0[/math], wenn z auf einer der Winkelhalbierenden-Kreise liegt. [br]Zwei der Punkte liegen dann spiegelbildlich zu den anderen auf zwei orthogonalen Kreisen.[/*][/list][br]Die meromorphe Funktion [math]\mathbf J\left(z\right)[/math] besitzt die 6 vierfachen Pole [math]\left\{0,1,-1,i,-i,\infty\right\}[/math] und [br]die 12 Schnittpunkte der Winkelhalbierenden-Kreise mit den Achsen als doppelte Nullstellen. [br]In diesen Punkten liegen [math]z,-z,\frac{1}{z},-\frac{1}{z}[/math] in harmonischer Lage (bei geeigneter Reihenfolge!).[br] [math]\mathbf J\left(z\right)[/math] bildet das Kreisdreieck 1, H, T[sub]1[/sub] auf die obere Halbebene ab: [br]Der Kreisbogen H ... 1 wird auf das Intervall [math]\left[0,\infty\right][/math] , die Strecke T1 ... H auf das Intervall [math]\left[-1,0\right][/math] [br]und der Kreisbogen 1 ... T[sub]1[/sub] auf das Intervall [math]\left[-\infty,-1\right][/math] abgebildet. [br]Die Schnittpunkte des orthogonalen Gitters im Kreisdreieck werden von [math]\mathbf J\left(z\right)[/math] auf die obere Halbebene [br]und mit der angegebenen Möbiustransformation ins Innere des Einheitskreises abgebildet.[br][br][color=#ff0000][i][size=85]Leider ist es nicht gelungen, die Bilder der Kreisabschnitte unter J einzuzeichnen: der Rechenaufwand scheint zu hoch zu sein![br][/size][/i][/color][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]