一直線上にある点

Bunryu Kamimura, Oct 1, 2015

３個以上の点が一直線上に並ぶことはめったにない。 並んでいる図を見ると不思議に感じる。 オイラー線に神秘をさえ感じてしまう。 どんな時に並ぶのか調べてみよう。

Table of Contents

  1. 三角形や円からできる～線
    1. シムソン線
    2. ニュートン線
    3. オイラー線
    4. ソディ線とジェルゴンヌ点の極線は直交する
    5. Housel線
    6. ナーゲル線
    7. Anticomplement
    8. 三角形極線との垂線
  2. シムソン線の拡張
    1. シュタイナー線・清宮線
    2. シムソン線の拡張「ターナー線」
    3. シムソン線の拡張「清宮線」
    4. シムソン線の拡張「まとめ」
  3. 基本の定理
    1. メネラウスの定理
    2. Pappus's hexagon theorem
    3. Pappus's hexagon theorem2
    4. Pappus's hexagon theorem3
    5. パップスの定理の証明
    6. パスカルの定理　Pascal's　theorem
    7. デザルグの定理 théorème de Desargues
    8. 九点円 Euler's circle
  4. いろいろな変化
    1. 傍心三角形のオイラー線
    2. 九点円と傍接円の接点
    3. 傍九点
    4. Hは何だろうか？
    5. 円の外接六角形
    6. GoGeometry Action 9!

1.

三角形や円からできる～線

三角形や円からできる３つの点が一直線上にある場合。 なお、Housel線とナーゲル線は同じ。 極線も３交点が一直線上に並ぶ。

  • 1. シムソン線
  • 2. ニュートン線
  • 3. オイラー線
  • 4. ソディ線とジェルゴンヌ点の極線は直交する
  • 5. Housel線
  • 6. ナーゲル線
  • 7. Anticomplement
  • 8. 三角形極線との垂線

1.1.

シムソン線

△ABCの外接円周上の任意の一点から各辺に下した垂線の足は一直線上にある。[br]この直線をシムソン線という。[br]（１７９９Wallace）
９点円との関係
シムソン線とDIを結んだ線の交点は、シムソン線の中点であって、しかもその軌跡は９点円となる。
３点が一直線上にあることの証明
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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1.6.

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1.7.

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1.8.

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2.

シムソン線の拡張

シムソン線の拡張を考えてみる。 ターナー線は点が外接円の外にある。 この点を外接円周上に持ってくるとシムソン線になる。 さらに外接円周と交わると清宮線が現れる。 清宮線は清宮俊雄先生が発見したもの。

  • 1. シュタイナー線・清宮線
  • 2. シムソン線の拡張「ターナー線」
  • 3. シムソン線の拡張「清宮線」
  • 4. シムソン線の拡張「まとめ」

2.1.

シュタイナー線・清宮線

シュタイナー線の3点は各辺に対する対称点。
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.4.

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3.

基本の定理

三角形の基本の定理

  • 1. メネラウスの定理
  • 2. Pappus's hexagon theorem
  • 3. Pappus's hexagon theorem2
  • 4. Pappus's hexagon theorem3
  • 5. パップスの定理の証明
  • 6. パスカルの定理　Pascal's　theorem
  • 7. デザルグの定理 théorème de Desargues
  • 8. 九点円 Euler's circle

3.1.

メネラウスの定理

この定理が、一直線上に点が並ぶ定理のはしごです。[br]証明はＡＢに平行な補助線と比を使ってできます。[br]とても応用が広い定理です。[br]この定理は、チェバの定理やパスカルの定理へとつながっていきます。[br]また、極線を作りだす原理です。[br]調和共役点（内分点と外分点）を求めると、[br]一直線上に並ぶ３組の点から新たに３本の直線ができます。[br]また、チェバの定理も現れてきます。
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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3.6.

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3.7.

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3.8.

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4.

いろいろな変化

これらの～線を探る。

  • 1. 傍心三角形のオイラー線
  • 2. 九点円と傍接円の接点
  • 3. 傍九点
  • 4. Hは何だろうか？
  • 5. 円の外接六角形
  • 6. GoGeometry Action 9!

4.1.

傍心三角形のオイラー線

△ABCの５心　　　　　　　垂心　―九点円心―　重心　―　外心　―　内心 　　　[br]　　　　　　　　　　　　　⇓　　　　　　　　　　　　　　[br]傍心三角形PRQの五心　　 内心　―　外心　―　重心_1　―外心_2―　内心_1　[br]　　　　　　　　　　　　　⇓[br]傍心三角形B1D1C1の五心 内心_1 ―　外心_2 ―　重心_2　―九点円心_1―内心_2[br]　　　　　　　　　　　　　⇓[br]傍心三角形P1Q1R1の五心 内心_2　―九点円心_1　　　　―外心_3[br][br]というように、内心は次の傍心三角形の垂心に、外心は九点円心になってゆく。
– Bunryu Kamimura

4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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4.6.

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