Para un punto cualquiera [color=#0000ff][b]P[/b][/color] del plano del triángulo [color=#ff00ff][b]△ABC[/b][/color] se definen los puntos [color=#0000ff][b]P[sub]A[/sub][/b][/color], [color=#0000ff][b]P[sub]B[/sub][/b][/color] y [color=#0000ff][b]P[sub]C[/sub][/b][/color] como los pies de las perpendiculares trazadas por [color=#0000ff][b]P[/b][/color] a los lados opuestos a los vértices [color=#ff00ff][b]A[/b][/color], [color=#ff00ff][b]B[/b][/color] y [color=#ff00ff][b]C[/b][/color] respectivamente. El triángulo [color=#0000ff][b]P[sub]A[/sub]P[sub]B[/sub]P[sub]C[/sub][/b][/color] es el [i][b]triángulo pedal[/b][/i] de [color=#0000ff][b]P[/b][/color], y su círculo circunscrito [color=#ff7700][b]Ω[/b][/color], el [i][b]círculo pedal[/b][/i] de [color=#0000ff][b]P[/b][/color].[br][br]Los [url=http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Conjugados_Isogonales.html]conjugados isogonales[/url], [color=#0000ff][b]P[/b][/color] y [color=#ff0000][b]Q[/b][/color] en la figura, comparten el mismo círculo pedal [color=#ff7700][b]Ω[/b][/color]. El centro [color=#ff7700][b]S [/b][/color]de [color=#ff7700][b]Ω[/b][/color] es el punto medio de [color=#0000ff][b]P[/b][/color] y [color=#ff0000][b]Q[/b][/color]. En el caso de que [b][color=#0000ff]P [/color][/b]sea el ortocentro o el baricentro, [b][color=#ff7700]Ω[/color][/b] es la [url=http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Circunferencia9P.html]circunferencia de los 9 puntos[/url].[br][br]Si los tres pies de las perpendiculares están alineados, la circunferencia [color=#ff7700][b]Ω[/b][/color] se transforma en una recta y el punto [color=#ff0000][b]Q[/b][/color] queda indefinido (en realidad es el punto del infinito correspondiente a la dirección perpendicular a la recta). Esto ocurre cuando [color=#0000ff][b]P[/b][/color] se encuentra en la circunferencia [b][color=#ff00ff]ω[/color][/b], circunscrita al [b][color=#ff00ff]△ABC[/color][/b]. La recta se denomina [i][b]recta de Simson[/b][/i] del punto [color=#0000ff][b]P[/b][/color], aunque parece que Simson nada tuvo que ver con ella, sino que fué descubierta por Wallace.[br][br]Pulsa el botón [[color=#0000ff][b]P en ω[/b][/color]] para ver la recta de Simson de un punto [color=#0000ff][b]P[/b][/color] cualquiera en [color=#ff00ff][b]ω[/b][/color]. Puedes parar/activar la animación con el control de la esquina inferior izquierda y desplazar manualmente el punto [color=#0000ff][b]P[/b][/color]. Conviene desmarcar la casilla [[b][color=#ff0000]Conj. Isogonal[/color][/b]], una vez comprobado lo dicho en el párrafo anterior.

¿Cúal es la recta de Simson que corresponde a los vértices de [color=#ff00ff][b]△ABC[/b][/color]?[br][br]¿Qué ángulo gira la recta de Simson cuando [color=#0000ff][b]P[/b][/color] da una vuelta completa a [color=#ff00ff][b]ω[/b][/color]?[br][br]¿Para que puntos son sus rectas de Simson perpendiculares?[br][br]¿Los lados son las rectas de Simson de algún punto?[br][br]¿Para que puntos las rectas de Simson pasan por el punto medio cada lado?[br][br]En general, cuando [color=#0000ff][b]P[/b][/color] gira un ángulo [b]φ[/b] cualquiera a lo largo de [color=#ff00ff][b]ω[/b][/color], la recta de Simson rota un ángulo [b]φ/2[/b]. Las rectas de Simson correspondientes a puntos diametralmente opuestos, son perpendiculares y se cortan en la circunferencia de los nueve puntos [b][color=#7f6000]c9p[/color][/b] del [color=#ff00ff][b]△ABC[/b][/color].[br][br]Marca la casilla [[color=#7f6000][b]Deltoide de Steiner[/b][/color]] para ver esa curva, que es la envolvente de las rectas de Simson: la tangente en cada uno de sus puntos es una recta de Simson del [color=#ff00ff][b]△ABC[/b][/color], y viceversa, todas las rectas de Simson de [color=#ff00ff][b]△ABC[/b][/color] son tangentes a la deltoide. Es una [url=http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Hipocicloides.html]hipocicloide[/url], concretamente la curva descrita por un punto de una circunferencia de radio [b]r = R/3[/b], cuando rueda sin deslizar por el interior de una circunferencia de radio [b]R[/b]. El radio [b]r[/b] es el mismo que el de la circunferencia de los nueve puntos [color=#7f6000][b]c9p[/b][/color], a la que es tritangente y concéntrica.[br][br]Es sorprendente la simetría de la envolvente, simetría rotacional de orden 3, a pesar de que el triángulo no presente en general ninguna simetría. Sorprendente asimismo que el triángulo equilátero formado por sus vértices tiene lados paralelos a los del [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Triangulo_Morley.html]triángulo de Morley[/url] del [color=#ff00ff][b]△ABC[/b][/color], aunque con orientación opuesta y sus centros en general no coinciden (los vértices del triángulo de Morley son las intersecciones de las rectas más próximas a cada lado de las que dividen a los ángulos del [color=#ff00ff][b]△ABC[/b][/color] en tres partes iguales).