Il teorema dei seni e quello di Carnot consentono di risolvere un triangolo qualsiasi, a patto di conoscere [b]tre elementi[/b], di cui [b]almeno un lato[/b].[br][br]Si possono incontrare quattro casi, in cui sono rispettivamente noti:[br][list=1][*]un lato e due angoli[/*][*]due lati e l'angolo compreso[/*][*]due lati e l'angolo opposto a uno di essi[/*][*]tre lati[/*][/list]

Ricordando che la somma delle misure degli angoli in un triangolo è uguale ad un angolo piatto, possiamo calcolare la misura del terzo angolo:[br][br][math]\gamma=\pi-(\alpha+\beta)[/math][br][br]Utilizzando il teorema dei seni possiamo determinare le misure dei due lati [math]a[/math] e [math]b[/math]:[br][br][math]a=c\frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}[/math][br][math]b=c\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}[/math]

Applicando il teorema di Carnot possiamo determinare il lato [math]a[/math]:[br][br][math]a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos\alpha}[/math][br][br]Applicando invece la formula inversa del teorema di Carnot (scritto per il lato b) determiniamo l'angolo [math]\beta[/math]:[br][br][math]\beta=\arccos\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}[/math][br][br]Infine, la misura dell'angolo [math]\gamma[/math] si ricava direttamente dalla relazione[br][br][math]\gamma=\pi-(\alpha+\beta)[/math]

Applicando il teorema dei seni determiniamo [math]\sin\beta[/math]:[br][br][math]\sin\beta=b\frac{\sin\alpha}{a}[/math][br][br]A seconda del valore che assume [math]\sin\beta[/math] si presentano tre casi differenti:[br][br]Se [math]\sin\beta>1[/math], allora il problema è impossibile (dalla definizione di seno).[br][br]Se [math]\sin\beta=1[/math], allora [math]\beta=\frac{\pi}{2}[/math] e occorre distinguere due casi:[br][list=1][*]Se [math]\alpha>\frac{\pi}{2}[/math] il problema è impossibile (la somma delle misure degli angoli in un triangolo deve essere uguale a [math]\pi[/math])[/*][*]Se [math]\alpha<\frac{\pi}{2}[/math] esiste una sola soluzione.[/*][/list][br]Se [math]0<\sin\beta<1[/math], allora si hanno due possibili soluzioni: un angolo acuto [math]\beta_1[/math] e uno ottuso [math]\beta_2[/math], tra loro supplementari. Per ogni valore di [math]\beta[/math] trovato occorre calcolare la misura di [math]\gamma[/math] utilizzando la relazione [math]\gamma=\pi-(\alpha+\beta)[/math]. Affinché ciascun valore di [math]\beta[/math] sia accettabile deve essere inoltre rispettata la condizione per cui ad angolo maggiore è opposto lato maggiore.[br][br]Infine, la misura del lato [math]c[/math] (o dei lati, nel caso si abbiano due soluzioni) si può calcolare con il teorema dei seni.

Calcoliamo la misura dell'angolo [math]\alpha[/math] a partire dal teorema di Carnot:[br][br][math]\alpha=\arccos\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}[/math][br][br]e quella dell'angolo [math]\beta[/math] a partire dal teorema dei seni, distinguendo due casi:[br][br][list][*]se [math]\beta[/math] è acuto, allora [math]\beta=\arcsin b\frac{\sin\alpha}{a}[/math] [/*][*]se [math]\beta[/math] è ottuso, allora [math]\beta=\pi-\arcsin b\frac{\sin\alpha}{a}[/math] [/*][/list][br]Infine ricaviamo [math]\gamma[/math] dalla relazione:[br][br][math]\gamma=\pi-(\alpha+\beta)[/math]