Talent Jove URV (1r BAT)
Llibre destinat a l'alumnat que assisteix a les sessions de Talent Jove de la URV
Tabla de Contenidos
- Introducció
- Què és GeoGebra?
- L'entorn de treball
- Els objectes de GeoGebra
- Matemàtiques dinàmiques
- Primeres construccions
- Primer problema
- Trigonometria
- Raons en figures geomètriques
- Raons trigonomètriques
- Resolució de triangles rectangles
- Resolució de triangles qualssevol
- CAS: càlcul simbòlic
- Introducció a CAS
- CAS i els nombres
- CAS i polinomis
- CAS i funcions
- Geometria analítica
- Punts, rectes i vectors
- Llocs geomètrics
- Còniques
- El·lipse
- Hipèrbola
- Paràbola
- Corbes (I): equacions algebraiques i construccions dinàmiques
- Corbes (II): equacions paramètriques i coordenades polars
- Funcions
- Funcions de primer i segon grau
- Famílies de funcions
- Funcions trigonomètriques
- Funció valor absolut i funció part entera
- Funcions definides a trossos
- Funcions amb domini els nombres naturals
- Transformacions de funcions
- Proves individual i en grup
- Simulacions 1
- Qüestionari Talent Jove
- Simulacions 1
- Enllaços d'interès
- Manuals i articles
- Autors
- Materials
Què és GeoGebra?
GeoGebra és una aplicació que permet treballar les matemàtiques dinàmicament. Va ser creada per Markus Hohenwarter (Austria) al 2001 com a calculadora de geometria i àlgebra, d'aquí el seu nom. Actualment es un software multiplataforma que inclou full de càlcul, CAS, 3D, estadística...[br][br]Darrera GeoGebra hi ha tot un equip de desenvolupadors i d'instituts GeoGebra per tot el món. Que desenvolupen, tradueixen i promouen GeoGebra.
Comunitat GeoGebra
Hi ha centenars de milers de recursos elaborats amb GeoGebra, gran part dels quals els podreu trobar a l'apartat de Recursos.[br][br]La web de GeoGebra és: www.geogebra.org. Des d'aquesta pàgina podreu accedir a l'aplicació, als recursos, als fòrums, compartir les vostres creacions...
Tasques
Accediu a la pàgina web de GeoGebra:[br] - localitzeu on es troba la descàrrega de la versió escriptori [i]GeoGebra Clàssic 6[/i][br] - accediu a l'aplicació [i]GeoGebra Clàssic online[/i][br] - accediu a [i]Recursos[/i] i obre un recurs qualsevol [br] - cerqueu i obriu el recurs: [i]Talent Jove URV[/i][br] - doneu-vos d'alta com a usuari GeoGebra.[br] - afegiu-vos al grup [i]Talent Jove URV[/i] el codi del qual és SYNDY
Raons en figures geomètriques
Quina relació hi ha entre el costat d'un quadrat i la seva diagonal?
Dibuixeu un quadrat i la seva diagonal. Observeu el que apareix a la finestra algebraica i relacioneu-ho amb els objectes dibuixats. [br][br]Feu que aparegui la mesura del costat i de la diagonal. Amagueu la resta d'etiquetes.[br][br]Clica sobre la icona text i escriu el que es veu a la imatge següent. Observa que hi ha ha part de text i una altra part amb fórmula (apareix emmarcada). Per introduir fórmules has de seleccionar un objecte.
Clica D'acord.[br][br]Per veure-ho millor, podeu augmentar la mida de la lletra i el nombre de xifres decimals.[br][br]Quin número t'ha donat? Mou el punt A o B per canviar la grandària del quadrat. Continua apareixent el mateix nombre? Quina conclusió traieu?
Quina relació hi ha entre la longitud d'una circumferencia i el seu diàmetre?
[code][/code]Cliqueu a [i]Fitxer | Nou[/i]. [br][br]Amb l'eina corresponent dibuixa una circumferència. Observa que l'ha anomenat c.[br][br]A la línia d'entrada escriu: [br][code]r=radi(c)[br]L=perímetre(c)[/code][br][br]Inseriu un text que mostri la relació entre la longitud de la circumferència i el diàmetre.[br][br]Canvieu de grandària la circumferència i observa aquesta relació.[br][br]
Introducció a CAS
Què és CAS?
CAS vol dir Calculadora Algebraica-Simbòlica o Sistema d'Àlgebra Computacional. Permet fer càlcul amb llenguatge algebraic. Aquesta calculadora té una finestra pròpia i apareix com una llista d'entrades que es van introduint seqüencialment.
Eines que apareixen a la part superior de la finestra
[b]Avaluació simbòlica[/b]: Fa el càlcul exacte de l'expressió (1/2+1/4 ens mostrarà 3/4)[br][b]Valor numèric[/b]: Dona una aproximació numèrica amb la precisió establerta. (1/2+1/4 ens mostrarà 0.75)[br][b]Manté l'entrada[/b]: Per a què l'expressió ingressada no s'efectuï[br][b]Factoritza[/b]: x^2-49 => (x+7)(x-7)[br][b]Desenvolupa[/b]: (x+7)(x-7) => x^2-49[br][b]Substitueix[/b]: Per exemple, per conèixer el valor numèric d'una expressió[br][b]Resol[/b]: Resol equacions (2x-6 = 0 ens mostrarà x = 3)[br][b]Resol numèricament[/b]: La resolució es fa mitjançant mètodes numèrics i la solució és aproximada.[br][b]Derivada i integral[/b]: Calcula la derivada i l'integral de la funció
Consideracions inicials
Convenis:[br][list][*]En una fila en blanc, la barra espaiadora reitera la sortida de la fila prèvia, = repeteix l'entrada prèvia i ) reprodueix la sortida prèvia entre parèntesis.[/*][*]El símbol ; suprimeix la sortida i es guanya espai vertical.[br][/*][*]S'utilitza els símbols := per assignar i el símbol = per a equacions. [i]a := 4, x+1 = 5 [/i][br][/*][*]Símbol de multiplicar: * o bé un espai, per exemple [i]a*b[/i] o [i]a b[/i] [br][/*][*]S'utilitzen lletres majúscules pels punts i lletres minúscules pels vectors. [i]A:=(2,3), u:=(2,3)[/i][/*][*]S'utilitza el símbol [i]$n[/i] per fer referència a la sortida de la fila [i]n[/i]. I el símbol [i]#n[/i] per fer referència a la sortida de la fila [i]n[/i], però no canviarà si canvia la fila [i]n[/i].[/*][*]Llistes, matrius i sistemes d'equacions: [i]{3,5,7,9,11} {{2,2},{3,4}} {2x+2y=3, 4x-y=-2}[/i][/*][/list]Algunes funcions incorporades:[br][list][*]Arrel quadrada: [i]sqrt(x)[/i][/*][*]Valor absolut: [i]abs(x)[/i][/*][*]Logaritme decimal, logaritme neperià i logaritme en base [i]a[/i] de [i]n[/i]: [i]log(x)[/i], [i]ln(x)[/i] i [i]log(a,n)[/i][/*][*]Exponencial: 2^6, i en el cas que la base sigui el nombre [i]e[/i]: [i]exp(x) [/i] [br][/*][*]Raons trigonomètriques: [i]sin(x)[/i], [i]cos(x)[/i], [i]tan(x)[/i][/*][*]Raons trigonomètriques inverses: [i]asin(x)[/i], [i]acos(x)[/i], [i]atan(x)[/i][br][/*][*]Part entera i arrodoniment: [i]floor(x)[/i], [i]round(x)[/i][br][/*][/list]Alguns nombres: [i]e[/i], [i]pi[/i],
Tasca 1
Fent servir les eines de la finestra CAS, reproduïu les següents operacions:
Tasca 2
Respon les qüestions següents referides a la [i]Tasca 1[/i]:[br]1.- Calcula el triple de la part entera de 2018/pi. Què has hagut d'escriure?[br]2.- Què podem fer per eliminar només la línia 3?[br]3.- Com podem inserir una línia sota de la 5?
Punts, rectes i vectors
El fet de tenir un sistema de referència al pla (un origen de coordenades i uns eixos de coordenades graduats), ens permet identificar qualsevol punt amb dos valors numèrics anomenats coordenades. [br][br]Una recta es pot considerar com un conjunt infinit de punts alineats. Si observem alguns exemples podrem observar que les coordenades d'aquest punts compleixen una certa condició que es pot expressar algèbricament si anomenem [i]x[/i] a la primera coordenada i [i]y[/i] a la segona coordenada.
També podem fer al revés, pensar en una expressió algèbrica i esbrinar quins són els punts que les seves coordenades la compleixen:[br] y=x/2 x+y=3 2x+3y-1=0[br][br]Si introduïu aquestes expressions a la línia d'entrada, GeoGebra representarà gràficament el punts que compleixen aquestes condicions. Observareu que el resultat en els tres casos anteriors són rectes.[br][br]Heu començat a veure la interrelació entre geometria (punts i rectes) i àlgebra (equacions) gràcies al sistema de coordenades cartesià.
El món dels vectors
Donats dos punts [i]A[/i] i [i]B[/i], podem pensar en com anar d'un a l'altre o en la posició relativa entre els dos punts. Aquesta idea la podem expressar en forma de vector (fletxa i components). [br]Un vector fix es caracteritza per tenir un origen, un extrem, una direcció, un sentit i un mòdul. Cada vector fix té uns components, en el nostre cas [math]\vec{AB}=\left(2,1\right)[/math]. És a dir que [i]B[/i] està dos quadrets a la dreta i un a munt d'[i]A[/i].[br]Hi ha una infinitat de vectors fixos que tenen els mateixos components. Tenen la mateixa direcció, sentit i mòdul. Es diferencien en l'origen i extrem. [br]Parlem de vector lliure quan ens referim a un vector (direcció, sentit i mòdul) sense tenir en compte l'origen i extrem.
Petita activitat
Introduïu a la línia d'entrada:[br]A=(3,1)[br]B=(-1,4)[br]u=vector(A,B)
Equacions de la recta a partir d'un punt i d'un vector
Els vectors lliures es poden sumar, restar i multiplicar per un nombre, com ja sabeu.[br][br]Donat un punt P, podem pensar en el vector [math]\vec{OP}[/math]. Les seves components coincideixen amb les coordenades del punt. Si al vector [math]\vec{OP}[/math] i sumem un cert nombre de vegades el vector [math]\vec{u}[/math] obtindrem vectors amb extrems sobre una recta.
Això ens porta a expressar de forma algèbrica la condició que compleixen les coordenades els punts d'aquesta recta: (x,y) = (1,3) + a (2,1). Aquesta equació s'anomena equació vectorial. A partir d'aquesta equació podem anar traient altres maneres d'expressar aquesta condició:[br] [math]\left.\begin{matrix} x=1+2a\\y=3+a \end{matrix}\right\} o (1+2a,3+a)[/math] equacions paramètriques[br][br][math]\frac{x-1}{2}=\frac{x-3}{1}[/math] equació contínua[br][br]x - 2y + 5 = 0 equació general[br][br]Així, un punt i un vector determinen una recta. Aquesta recta passa pel punt i té la direcció del vector. També, una recta ve determinat per un punt i un vector director. Això permet determinar les rectes mitjançant equacions com les anteriors.[br][br]A GeoGebra podem crear una recta mitjançant les eines, la seva equació o el comandament [i]recta( )[/i]:[br] recta (punt, punt)[br] recta (punt, vector)[br] recta (punt, recta)
Treballar amb rectes
GeoGebra permet, mitjançant eines i/o comandaments:[br]- Crear rectes paral·leles i perpendiculars: [i]Recta(A,f) [/i]i [i]Perpendicular(A,f)[/i][br]- Establir la posició relativa (es tallen, són paral·leles o perpendiculars): [br] [i]SónIguals(recta, recta)[/i][br] [i]SónParaleles(recta, recta)[/i][br] [i]SónPerpendiculars(recta, recta)[/i][br]- Trobar el punt de tall de dues rectes: [i]Intersecció(recta, recta)[/i][br]- Mesurar distàncies (d'un punt a una recta o d'una recta a una altra recta): [i]Distància(objecte, objecte)[/i][br]- Mesurar l'angle que formen dos vectors o dues rectes:[i] Angle(recta, recta)[/i] o [i]Angle(vector, vector)[/i][br]- Trobar el punt mig de dos punts: [i]PuntMitjà(punt,punt)[/i]
Operacions amb vectors
GeoGebra permet fer càlculs amb vectors des de la línia de comandes:[br]- Suma: u+v[br]- Recta: u-v[br]- Producte per un nombre: 3*u o 3u[br]- Combinacions lineals: 2u-4v[br]- Producte escalar: u*v
Tasca 1
Representa les rectes següents:[br]a) 2x+y=-2[br]b) (2-t,3-4t)[br]c)[math]\frac{x+1}{-3}=\frac{x-3}{2}[/math][br]d) recta que passa pel punt P(2,-7) i té com a vector director u=(3,-4)
Tasca 2
Representa la recta [i]r[/i]: x-2y+1=0, una recta [i]s[/i] paral·lela a [i]r[/i] que passi pel punt P(-2,7) i una recta [i]t[/i] que passi pel punt [i]P[/i] i que sigui perpendicular a [i]r[/i].
Tasca 3
a) Troba la distància del punt A(3,4) a la recta r: 3x+5y-8=0.[br]b) Quin angle formen les rectes r: 4x-y+3=0 i s: -x+y+2=0.
Tasca 4
a) Esbrina què fa el comandament [i]Versor(recta)[br][/i]b) Esbrina què fa el comandament[i] VersorPerpendicular(vector)[br][/i]c) Troba els vectors que siguin perpendiculars a [math]\vec{u}=\left(3,4\right)[/math] i que tinguin el mateix mòdul que [math]\vec{u}[/math]
Tasca 5
Dos vèrtex no consecutius d'un rombe estan als punts (3,1) i (9,9), i un dels costats és paral·lel a la recta (5+[i]t[/i],-1-2[i]t[/i]). Troba les coordenades dels altres vèrtex, la longitud del costat i l'àrea.
Tasca 6
Determina un punt a l'eix d'abscisses que estigui a la mateixa distància del punt [i]A[/i](5,4) que de la recta [i]r[/i]: [math]\frac{x+1}{4}=\frac{y-4}{3}[/math]
Tasca 7
Troba l'equació d'una recta[i] r[/i] que passi pels punts [i]A[/i](5,-4) i [i]B[/i](3,6) i, després, l'equació d'una recta [i]s[/i] paral·lela a [i]r[/i] i que estigui a 8 unitats de distància.
Funcions de primer i segon grau
Funcions de primer grau
Les funcions de primer grau es caracteritzen per tenir una fórmula del tipus [i]f(x)=a·x+b[/i] amb [i]a[/i] i [i]b[/i] nombres reals. La [i]x[/i] és la variable independent, i [i]a[/i] i [i]b[/i] són paràmetres. Per cada [i]a[/i] i [i]b[/i] tenim una funció. En el cas que [i]a[/i]=-2 i [i]b[/i]=1.5 tenim la funció [i]f(x) = -2x +1.5[/i]. La gràfica d'aquesta funció és:
Tasca 1
Insereix dos punts lliscants [i]a[/i] i [i]b[/i] que prenguin valors entre -5 i 5 amb increment de 0.1.[br]A la línia d'entrada escriu:[br][i]f(x) = a*x+b[/i][br]Mou els punts lliscants i esbrina com aquests paràmetres determinen la forma de la gràfica. Fixa't, per exemple, en els punts de tall amb els eixos de coordenades i el creixement i decreixement.[br]
Funcions de segon grau
Les funcions de segon grau es caracteritzen per tenir una formula del tipus [i]f(x)=a·x[sup]2[/sup]+b·x+c[/i] amb [i]a[/i], [i]b[/i] i [i]c[/i] nombres reals. La gràfica és una corba anomenada paràbola. Les funcions de segon grau també es poden expressar amb una fórmula del tipus [i]f(x)=a(x-p)[sup]2[/sup] + q[/i] amb [i]a[/i], [i]p[/i] i [i]q[/i] nombres reals.
Tasca 2
En una nova finestra, insereix tres punts lliscants [i]a[/i], [i]b[/i] i [i]c[/i] que prenguin valors entre -5 i 5 amb increment de 0.1.[br]A la línia d'entrada escriu:[br][i]f(x) = a*x^2+b*x+c[/i][br]Mou els punts lliscants i esbrina com aquests paràmetres determinen la forma de la gràfica. Fixa't, per exemple, en els punts de tall amb els eixos de coordenades, el vèrtex i l'obertura de la paràbola.
Tasca 3
En una nova finestra, insereix tres punts lliscants [i]a[/i], [i]p [/i]i[i] q[/i] que prenguin valors entre -5 i 5 amb increment de 0.1.[br]A la línia d'entrada escriu:[br][i]f(x) = a*(x-p)[sup]2[/sup]+q[/i][br]Mou els punts lliscants i esbrina com aquests paràmetres determinen la forma de la gràfica. Fixa't, per exemple, en els punts de tall amb els eixos de coordenades, el vèrtex i l'obertura de la paràbola.
Tasca 4
Troba la fórmula de les funcions següents:
Simulacions 1
Tasca 1: Moviment uniforme
Heu de simular el moviment uniforme d'un punt sobre l'eix d'abscisses, que parteix d'un cert lloc a una velocitat determinada. Heu de considerar els paràmetres: la velocitat i l'espai inicial.[br][br]Cerqueu a Internet la imatge d'un cotxe i feu que sigui el cotxe el que es mogui. Afegiu una imatge d'un paisatge de fons.[br]
Tasca 2: Persecució 1
Heu de simular la persecució del cotxe anterior a una moto que surt a una certa distància del cotxe a una determinada velocitat constant un temps abans. Considereu els paràmetres: les dues velocitats, els dos espais inicials i el retard en sortir el cotxe.[br][br]Afegiu una imatge per a la moto. Feu que es pugui seleccionar veure només el cotxe o veure la persecució.[br][br]Deseu la construcció amb el nom Mu_1.ggb. Deseu la construcció amb el nom Mu_2.ggb. D'aquesta manera tindreu una còpia de la construcció. Continueu treballant en Mu_2.ggb.[br][br]Anem a canviar el punt de vista. Anem a pensar que és la moto la que no es mou, sinó que és el paisatge i el cotxe els que es mouen. Com si nosaltres en movèssim conjuntament amb la moto.
Tasca 3: Persecusió 2
Anem a simular la persecució vista des de l'aire sobre una certa carretera, per exemple aquest tram de la C-14.
Manuals i articles
Carrillo, Agustin (2013) Cálculo simbólico también es posible con GeoGebra. Revista Unión n. 34
[url=http://geogebra.es/cvg/manual/index.html]Manual GeoGebra 4.2[/url]