La fórmula que relaciona la distancia del circuncentro [color=#ff0000][b]O[/b][/color] al incentro [color=#ff0000][b]I[/b][/color] con los radios [color=#ff0000][b]r[/b][/color] y [color=#ff0000][b]R[/b][/color] de las circunferencias inscrita y circunscrita a cualquier triángulo se debe al genial y polifacético [b][i]Euler[/i][/b] (1713-1783).[br][br]Utiliza los controles inferiores para ver la demostración paso a paso.

Se deduce que para cualquier triángulo es [b]R ≥ 2r[/b], dándose la igualdad solo cuando [b]d = 0[/b]. Es decir, cuando coinciden Incentro y Circuncentro, en cuyo caso el triángulo es equilátero.[br][br]Como consecuencia, si en un par de circunferencias, una interior a la otra, puede inscribirse y circunscribirse un triángulo, puede hacerse igualmente utilizando cualquier punto de la circunferencia exterior como vértice.[br][br]Con una inversión que transforme ambas circunferencias en concéntricas, se reduce al problema de [url=http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/TresCircIgualesConcurrentes.html]Tres circunferencias iguales concurrentes[/url].[br][br]Es un caso particular, para triángulos y circunferencias, del porismo de [i][b]Poncelet[/b][/i]: "[i]Si un polígono de n lados puede inscribirse en una cónica y circunscribirse en otra, puede hacerse con una infinidad continua de ellos[/i]".[br][br]Para cuadriláteros en circunferencias, puede verse: [url=http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/CuadrilaterosBicentricos.html]Cuadriláteros bicéntricos[/url].