実際には、これらの図を順番にたどったのではなくて、むしろ逆で、[br]極と極線を調べていたら、チェバの定理に至り、さらに調和列点に至り、それは内分と外分だった。[br]その作図を調べていたら、結局メネラウスの定理になった。[br]そして、それはチェバの定理の証明だった。[br][br]まとめると、[br]メネラウスの定理→チェバの定理→内分外分→チェバ→と循環している。[br]

内分と外分の関係を式に表すと、[math]\frac{B'A}{BB'}=\frac{AC}{CB}[/math]・・・(1)[br]メネラウスの定理は[math]\frac{DE}{EA}\times\frac{AB'}{B'B}\times\frac{BG}{GD}=1[/math]・・・(2)[br](1)を(2)に代入すると、[br][math]\frac{DE}{EA}\times\frac{AC}{CB}\times\frac{BG}{GD}=1[/math][br]となり、これはチェバの定理を示している。[br]

△AEF∽△CKFより、AE:CK=FA:CFだから、[math]\frac{AE}{CK}\times\frac{CF}{FA}=1[/math]・・・(1)[br]△EBD∽△CKDより、EB:BD=KC:CDだから、[math]\frac{EB}{CK}\times\frac{CD}{BD}=1[/math]・・・(2)[br][br](1)×(2)から、[math]\frac{AE}{CK}\times\frac{CF}{FA}\times\frac{CK}{EB}\times\frac{BD}{CD}=1[/math][br]ＣＫを約分するとメネラウスの定理が出てくる。

△ＡＢＦと△ＡＦＣについてメネラウスの定理を当てはめる。[br][math]\frac{AE}{EB}\cdot\frac{B\text{Ｃ}}{C\text{Ｆ}}\cdot\frac{FD}{DA}=1[/math]・・・(1)[br][math]\frac{AG}{GC}\cdot\frac{CB}{BF}\cdot\frac{FD}{DA}=1[/math]・・・(2)[br]なので、(1)(2)をかけ合わせて、約分すると[math]\frac{AE}{EB}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot\frac{CG}{GA}=1[/math] 　これはチェバの定理。[br]さらに、ＥＧとＢＣの交点をＨとすると、[br]メネラウスの定理により　[math]\frac{AE}{EB}\cdot\frac{BH}{HC}\cdot\frac{CG}{GA}=1[/math][br]これとチェバの定理をかけ合わせると、[math]\frac{BH}{HC}\cdot\frac{FC}{BF}=1[/math][br]となって、内分と外分の関係が導かれる。[br][br]

これらの図で気になるのが、真ん中の交点。[br]それは、これらの三角形の極だった。[br]この極から極線が出てくる。