Differentialrechnung
Table of Contents
- Einleitung
- Differenzen- und Differentialquotient
- Differenzen- und Differentialquotient
- Ableitungsregeln
- Anwendungen
- Das Newtonsche Näherungsverfahren
- Taylorpolynome
- Extremwertaufgabe Coladose
- Ableitungsfunktion
Differenzen- und Differentialquotient
[b]Definition[/b][br]Sei f eine Funktion [math]f: \, ]a; b[ \rightarrow\mathbb{R}[/math].[br]Dann heißt [b]f[/b] an einer Stelle [math]x_0\in]a; b[[/math] [b]differenzierbar[/b], wenn der Grenzwert [br] [math] \lim_{h\to 0} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h} \qquad[br]\left(= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f\left(x_0+ \Delta x \right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x} = [br]\lim_{x \to x_0} \frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\right)[/math][br]existiert.[br][br]In dem Applet ist der Graph der Funktion f: R → R; f(x) = 0,1·x² + 1 dargestellt.[br][br][b]Aufgabe[/b][br][list][*]Verändere mithilfe des Schiebereglers für Δx den Abstand zwischen den Punkten A und B.[/*][*]Notiere für Δx = 3,5 ; 3,0 ; 2,5; 2,0; 1,5; 1,2 und 1,1 die Steigung k der Sekanten durch die Punkte A und B. [br][/*][*]Welche Steigung k der Tangente im Punkt A lässt sich als Grenzwert der Sekantensteigungen vermuten?[/*][*]Führe dieselbe Aufgabe für die Funktion f(x) = 0.1·x² durch.[/*][/list]
Multiple Choice Fragen
Kreuze die richtige(n) Aussage(n) an.
Das Newtonsche Näherungsverfahren
In diesem Applet wird das Newton'sche Näherungsverfahren geometrisch veranschaulicht.[br]Spiele die einzelnen Schritte über die Navigationsleiste ab und beschreibe den dargestellten Vorgang mit eigenen Worten.[br]Verändere die Position des Startwert [math]x_{1}[/math]. Wo muss der Startwert liegen, damit die linke Nullstelle angenähert wird?[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Berechne die Nullstelle der Sinusfunktion im Intervall [6; 7].[br]Zoome (Strg-Scrollrad oder Rechte Maustaste ziehen) auf den interessierenden Bereich.[br]Welcher Startwert ist für diese Berechnung ungeeignet? Begründe deine Entscheidung.
[b]Mögliche Aufgabenstellung [/b][br]Gesucht sind die Nullstellen der Funktion f mit [math]f(x) = x^2 + e^x - 2[/math].[list][*]Beschreibe das Näherungsverfahren nach Newton und berechne den ersten Wert der Iteration für die Nullstelle im Intervall [0; 1]. Beginne mit dem Startwert [math]x_1 = 1,5[/math].[/*][*]Berechne mit einem elektronischen Tool weitere Iterationswerte und eine Näherungslösung auf 3 Dezimalen genau (Reproduktion).[/*][*]Leite die Iterationsformel an Hand einer Skizze her.[/*][*]Welche Startwerte darf man beim Newton’schen Näherungsverfahren prinzipiell nicht wählen und warum nicht? (Reflexion)[/*][*]Würdest du die Gleichung x² + 6x = 4 auch mit dem Newton’schen Näherungsverfahren lösen? Wäre es prinzipiell möglich? (Reflexion)[/*][*]Warum kann man mit diesem Verfahren für die Funktion f mit [math]f(x)=\sqrt(x)[/math] die Nullstelle für x = 0 nicht finden, wenn der Startwert [math]x_1 = 2[/math] ist? (Transformation, Reflexion)[/*][/list]