Прямокутна система координат на площині
Table of Contents
- Декартові координати на площині
- Декартові координати на площині
- Відстань між двома точками
- Координати середини відрізка
- Координати середини відрізка
- Поняття рівняння фігури. Рівняння кола
- Поняття рівняння фігури
- Рівняння кола
- Рівняння прямої
- Рівняння прямої
- Метод координат
Декартові координати на площині
[justify][b]Декартову систему координат[/b] (або [b]прямокутна система координат[/b]) вперше запропонував відомий французький математик [b]Рене Декарт[/b] близько 1637 р. у праці «Геометрія», одному з додатків до видатного філософського твору «Міркування про метод».[/justify]
[justify]Сучасна Декартова система координат в двох вимірах (також знана під назвою [b]прямокутна система координат[/b]) задається двома осями, розташованими під прямим кутом одна до одної. Площину, в якій знаходяться осі, називають іноді [i]xy[/i]-площиною. Горизонтальна вісь позначається як [b]x[/b] ([b]вісь абсцис[/b]), вертикальна як [b]y[/b] ([b]вісь ординат[/b]). В тривимірному просторі до цих двох додається третя вісь, перпендикулярна [i]xy[/i]-площині — вісь [b]z[/b] ([b]аплікат[/b]).[/justify]
[justify]Точка перетину, де осі перетинаються, називається [i][b]початком координат[/b][/i] та позначається як [b]O[/b]. Відповідно, вісь [b]x[/b] може бути позначена як [b]Ox[/b], а вісь [b]y[/b] — як [b]Oy[/b]. Прямі, проведені паралельно до кожної осі на відстані одиничного відрізку (одиниці виміру довжини) починаючи з початку координат, формують [b]координатну сітку[/b].[/justify]
[justify]Точка в двовимірній системі координат задається двома числами, які визначають відстань від осі [b]Oy[/b] ([b]абсциса або х-координата[/b]) та від осі [b]Ох[/b] ([b]ордината або y-координата[/b]) відповідно. Таким чином, координати формують впорядковану пару чисел [b](x, y)[/b].[/justify]
[justify]Перетин двох осей створює чотири квадранти на координатній площині, які позначаються римськими цифрами I, II, III, та IV. Зазвичай порядок нумерації квадрантів — проти годинникової стрілки, починаючи з правого верхнього (тобто там, де абсциси та ординаті — додатні числа).[br][/justify][table][tr][td][/td][td]x[/td][td]y[/td][/tr][tr][td]I[/td][td]+[/td][td]+[/td][/tr][tr][td]II[/td][td]-[/td][td]+[/td][/tr][tr][td]III[/td][td]-[/td][td]-[/td][/tr][tr][td]IV[/td][td]+[/td][td]-[/td][/tr][/table]
Координати середини відрізка
Теорема (про координати середини відрізка)
[justify]Кожна координата середини відрізка дорівнює півсумі відповідних координат його кінців.[br][br][/justify]
Довжина медіани трикутника
[justify]Щоб знайти довжину медіани трикутника, знаючи координати його вершин, визначте координати основи медіани та знайдіть відстань від цієї точки до протилежної вершини трикутника[/justify]
Координати точки, що ділить даний відрізок у заданому відношенні
[justify]Нехай кінці відрізка [i]AB[/i] і точка [i]C[/i], що ділить його у відношенні [i]m:n[/i], мають координати: [math]A\left(x_1;y_1\right)[/math], [math]B\left(x_2;y_2\right)[/math], [math]C\left(x;y\right)[/math]. Тоді [br][math]x=\frac{n}{m+n}\cdot x_1+\frac{m}{m+n}\cdot x_2[/math], [math]y=\frac{n}{m+n}\cdot y_1+\frac{m}{m+n}\cdot y_2[/math][/justify]
Поняття рівняння фігури
[justify]Рівняння з двома змінними [i]x[/i] і [i]y [/i]називається рівнянням фігури, якщо виконується дві умови:[br][/justify][list=1][*]Координати будь-якої точки фігури задовольняють рівняння;[/*][*]Будь-які два числа, що задовольняють це рівняння, є координатами деякої точки фігури.[/*][/list]
[justify]Щоб встановити, що у даній системі координат фігура [i]F[/i] задається певним рівнянням, треба довести два взаємно обернені твердження:[br][/justify][list=1][*]Якщо точка належить фігурі [i]F, [/i]то її координати задовольняють рівняння фігури [i]F;[/i][/*][*]Якщо координати деякої точки задовольняють рівняння фігури [i]F[/i], то ця точка належить фігурі [i]F.[/i][/*][/list]
Рівняння прямої
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом: [math]y=kx+b[/math] або [math]y=kx[/math], якщо пряма проходить через початок координат.[br]Коефіцієнт k у цих рівняннях називається кутовим коефіцієнтом прямої. Він дорівнює тангенсу кута між даною прямою і додатною піввіссю Ох
Рівняння прямої, що проходить через 2 точки
[math]\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}[/math], де [math]x_1[/math], [math]x_2[/math], [math]y_1[/math], [math]y_2[/math] - відповідні координати двох заданих точок ([math]A\left(x_1;y_1\right)[/math], [math]B\left(x_2;y_2\right)[/math])
Загальне рівняння прямої
[math]ax+by+c=0[/math]