I [b]punti fissi[/b] sono quei punti che tramite la trasformazione vengono mandati in se stessi.[br]Per trovare i punti fissi di una rotazione dobbiamo risolvere il seguente sistema in cui imponiamo che le coordinate del punto di partenza coincidano con quelle del punto trasformato:[br][br][center][i][math]\begin{cases}x=(x-x_C)\cdot cos(α)-(y-y_C)\cdot sin(α)+x_C\\[br]y=(x-x_C)\cdot sin(α)+(y-y_C)\cdot cos(α)+y_C\end{cases}[/math][/i][br][/center][br]Come abbiamo notato in precedenza [b]se [/b][i][math]α=0[/math][/i][b] la rotazione è l'identità e tutti i punti sono punti fissi[/b], infatti inserendo il valore nelle equazioni sopra troviamo:[br][br][center][i][math]\begin{cases}x=(x-x_C)\cdot cos(0)-(y-y_C)\cdot sin(0)+x_C\\[br]y=(x-x_C)\cdot sin(0)+(y-y_C)\cdot cos(0)+y_C\end{cases}[/math][/i][br][/center]Da cui[br][center][i][math]\begin{cases}x=(x-x_C)\cdot 1-(y-y_C)\cdot 0+x_C\\[br]y=(x-x_C)\cdot 0+(y-y_C)\cdot 1+y_C\end{cases}[/math][/i][/center][br][center][i][math]\begin{cases}x=(x-x_C)+x_C\\[br]y=(y-y_C)+y_C\end{cases}[/math][/i][/center]Quindi il sistema è soddisfatto per ogni punto[i][math](x,y)[/math][/i].[br][br]Sia ora [i][math]α\ne 0[/math][/i], riscriviamo il sistema:[br][br][center][i][math]\begin{cases}x-x_C=(x-x_C)\cdot cos(α)-(y-y_C)\cdot sin(α)\\[br]y-y_C=(x-x_C)\cdot sin(α)+(y-y_C)\cdot cos(α)\end{cases}[/math][/i][/center][br][center][i][math]\begin{cases}(x-x_C)-(x-x_C)\cdot cos(α)=-(y-y_C)\cdot sin(α)\\[br](y-y_C)-(y-y_C)\cdot cos(α)=(x-x_C)\cdot sin(α)\end{cases}[/math][/i][br][/center][br][center][i][math]\begin{cases}(x-x_C)\cdot (1-cos(α))=-(y-y_C)\cdot sin(α)\\[br](y-y_C)\cdot (1-cos(α))=(x-x_C)\cdot sin(α)\end{cases}[/math][/i][br][/center][br]Poichè [i][math]α\ne 0[/math][/i], abbiamo che [i][math]cos(α)\ne 1[/math][/i], quindi possiamo dividere per [i][math](1-cos(α))[/math][/i]:[br][br][center][i][math]\begin{cases}(x-x_C)=\frac{-(y-y_C)\cdot sin(α)}{(1-cos(α))}\\[br](y-y_C)\cdot (1-cos(α))=(x-x_C)\cdot sin(α)\end{cases}[/math][/i][/center][br]Con le opportune sostituzioni otteniamo:[br][br][center][i][math]\begin{cases}(x-x_C)=\frac{-(y-y_C)\cdot sin(α)}{(1-cos(α))}\\[br](y-y_C)\cdot (1-cos(α))=\frac{(-(y-y_C)\cdot sin(α))\cdot sin(α)}{(1-cos(α))}\end{cases}[/math][/i][br][/center][br][center][i][math]\begin{cases}(x-x_C)=\frac{-(y-y_C)\cdot sin(α)}{(1-cos(α))}\\[br](y-y_C)\cdot (1-cos(α))^2=-(y-y_C)\cdot sin^2(α)\end{cases}[/math][/i][/center][br]Svolgendo la seconda equazione del sistema troviamo:[br][br][center][i][math](y-y_C)\cdot (1+cos^2-2\cdot cos(α))=-(y-y_C)\cdot sin^2(α)[/math][/i][/center][br][center][i][math](y-y_C)\cdot (1+cos^2(α)-2\cdot cos(α)+sin^2(α))=0[/math][/i][/center][br]Dall'identità fondamentale della trigonometria sappiamo che [i][math]cos^2(α)+sin^2(α)=1[/math][/i] quindi l'equazione diventa:[br][br][center][i][math](y-y_C)\cdot (1+1-2\cdot cos(α))=0[/math][/i][br][/center][br][center][i][math](y-y_C)\cdot (2-2\cdot cos(α))=0[/math][/i][/center]Vogliamo che il prodotto sia zero quindi uno dei due fattori deve essere nullo, [i][math]cos(α)\ne 1[/math][/i] quindi [i][math](2-2\cdot cos(α))\ne 0[/math][/i], quindi deve essere [i][math](y-y_C)=0[/math][/i] da cui [i][math]y=y_C[/math][/i].[br]Inserendo quanto appena ottenuto nella prima equazione del sistema si ottiene [i][math](x-x_C)=0[/math][/i] da cui [i][math]x=x_C[/math][/i].[br]Possiamo quindi concludere che [b]per [i][math]α\ne 0[/math][/i] l'unico punto fisso di una rotazione è il punto [/b][i][math](x_C,y_C)[/math][/i][b], cioè il centro[/b].

Una [b]retta fissa[/b] è una retta in cui punti vengono mandati mediante la trasformazione in punti ancora appartenenti alla retta, una [b]retta di punti fissi[/b] è una retta i cui punti vengono tutti mandati in se stessi.[br]Come abbiamo appena visto l'unico punto fisso delle rotazioni è il centro quindi in generale non abbiamo rette fisse né rette di punti fissi.

In alcune situazioni particolari è possibile individuare delle rette che vengono mandate in se stesse.[br]Osserva la figura sotto, modifica a tuo piacimento l'angolo di rotazione e osserva che la retta s, passante per il centro, per alcuni valori di [i]α[/i] viene mandata in se stessa.

Abbiamo visto che la rotazione mantiene costante la distanza dal centro di rotazione di ogni punto trasformato.[br]Per definizione la circonferenza è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto detto centro, quindi se consideriamo [b]una circonferenza con centro C[sub]1[/sub] coincidente con il centro di rotazione C [/b]applicando la rotazione la circonferenza [b]viene mandata in se stessa[/b].