[br]
Облици конусних пресека
Конусни пресеци имају различите облике: круг, елипса,.... Ови облици се опет могу представити у различитим математичким облицима-дефиницијама као што су: пресек две фигуре (геометријски приступ) или једначинама (аналитички приступ). Овде се бавимо и једним и другим облицима, [u]истовремено[/u]! Поставља се питање које везе постоје међу овим облицима-дефиницијама? Намеће се и питање коју дефиницију применити у задацима проблемског типа? Тема овог материјала је: - везе између различитих облика-дефиниција конусних пресека - избор дефиниције конусног пресека при решавању задатака [b]НАПОМЕНА[/b]: за круг, елипсу, параболу и хиперболу ћемо користити и назив [i]конусни пресеци[/i] и назив [i]криве другог реда[/i]. [b]Садржај[/b] [list=1] [*][i]Увод[/i]: Упознавање са значајним предзнањима везаних за конусне пресеке. [*][i]Геометријски притуп[/i]: Приступ конусним пресецима у главном користећи слике и фигуре, а мање формуле. [*][i]Аналитички приступ[/i]: Приступ кривама другог реда у главном користећи формуле., а мање слике и фигуре. [*][i]Задаци[/i]: Задаци су проблемски, а решавају се истраживачки. За разлику од решавања задатака на папиру или табли, овде се налазе разне интернет алатке [*][i]Закључак и линкови[/i]: Извођење закључка и приказ линкова. [/list]
Table of Contents
- Увод
- Циљеви "Облика конусних пресека"
- Растојање између две тачке
- Експлицитни облик једначине праве
- Пресек праве и два унакрсна угла
- Геометријски приступ
- Једначина конусне површи
- Конусни пресеци
- Пројекција конусног пресека и радијус-вектор
- Аналитички приступ
- Једначина круга
- Једначина елипсе и хиперболе
- Једначина параболе
- Задаци
- Четири облика конусних пресека
- Фонтана
- Башта
- Архимедесова справа
- Жабица
- Билијар
- Лампа
- Закључак и линкови
- Закључак
- Линкови
Циљеви "Облика конусних пресека"
Циљеви
[i]Овај материјала служи за продубљивање знања о дефиницијама кривих другог реда на нивоу средњег образовања.[/i][br]Ово подразумева:[br][list][*]познавање различитих дефиниције конусних пресека[/*][*]имати представу о везама које постоје међу њима[/*][*]решавање једноставнијих задатака избором одговарајуће дефиниције другог реда[br][/*][/list]
Облици конусних пресека
* Огледни час
Идентичан материјал је доступан на претраживачима интернета укључујући мобилне телефоне без икаквих инсталација или додатних акција (отвори последњу страну са линковима).[br]Питати редом од задњих редова. [br]
Једначина конусне површи
Проблем
Конусна површ је 3D фигура и зато ћемо је анализирати у просторном координатном систему Oxyz. Поставимо конусну површ тако да њено теме буде у координатном почетку, а осу конуса поставимо тако да се поклапа са z-осом. Све изводнице ће имати исти нагиб у односу на раван Oxy. Означимо са m коефицијент правца изводнице.[br]Како изгледа једначина конусне површи?
Извођење једначине конусне површи
Једначина круга
Проблем
Како гласе једначина круга?
Извођење једначине круга
Круг је скуп тачака у равни које су подједнако удаљене од једне тачке коју зовемо центар. Гледајући круг као конусни пресек, пројекција центра би требало да се зове фокус те криве. Међутим, назив фокус се не употребљава за круг. Слично важи и за ту подједнаку удаљеност, то јест полупречник. Пројекција полупречника би требало да се зове радијус-вектор, али назив остаје полупречник. Jедначина круга се добија из растојања између две тачке[br][center][math]\sqrt{\left(x-x_C\right)^2+\left(y-y_C\right)^2}=r[/math][br][math]\left(x-x_C\right)^2+\left(y-y_C\right)^2=r^2[/math][/center][br]где је центар круга тачка [math]\left(x_C,y_C\right)[/math], а полупречник [math]r[/math].[br]Специјално, у случају конусног пресека фокус је у центру па је једначина круга.[br][center][math]x^2+y^2=r^2[/math][/center]
Четири облика конусних пресека
Табеларни приказ конусних пресека и 4 њихове дефиниције
У дефиницијама конусног пресека се подразумева да раван која сече конус не садржи теме конуса.[br]У дефиницијама датим у кривама другог реда се подразумева да су оне везане за координатни почетак. Значи, нису ни транслиране ни ротиране.[br]У дефиницијама датим ексцентритетом се подразумева да једино за круг не важи формула [math]r=e\cdot r_d[/math]. [br]Ознаке: [math]r[/math] и [math]r'[/math] су радијус-вектори, [math]r_d[/math] је растојање од директрисе, [math]e[/math] је ексцентрицитет.
Закључак
Питање
Шта је најважније запамтити у вези ове лекције?
Отворена питања
Има ли још дефиниција кривих другог реда? [list][*]Да, има их више. Рецимо параметарске ј-не. Неке од ових једначина се могу наћи и на овом сајту.[/*][/list]Да ли постоје криве "трећег реда"? [list][*]Постоје! Постоје и четвртог реда...[br][br][/*][/list]