三角形の中心と極と極線

Bunryu Kamimura, Nov 9, 2017

三角形の中心は数千個発見されている。 この中心を分類してみようと考えた。 そのためには、数千個の中心を表さなければならない。 ジオジェブラには３０５３個までの中心を表すことができるコマンドがついている。 [b]３０５３個の中心を並べたらどうなるのだろうか！[/b] 三角形の中心の作る宇宙を覗いてみよう。 まとめのサイト[url]http://hamaguri.sakura.ne.jp/kyokusen.htm[/url]

Table of Contents

  1. 三角形の中心を求めるコマンド
    1. 三角形の心の作図のコマンド
    2. 等角等距離双曲線と三角形の心
    3. 三角形の中心の作る宇宙
  2. 三角形の中心が直線（極線）上にある
    1. 極線と傍心三角形
    2. 三角形の心と極線
    3. 三角形の中心を極とする極線
    4. 三角形の中心を極とする極線
    5. 垂軸とオイラー線
  3. 三角形の極と極線
    1. 円から三角形の極線へ
    2. 極と極線は一対一に対応
    3. 極と極線の極線
    4. 三角形に関する極と極線
    5. メネラウスの定理
    6. 極線から極を求める（メネラウスの定理）
    7. 内分外分からメネラウス・チェバの定理の証明へ
  4. 三角形に内接する二次曲線
    1. 楕円に外接する三角形
    2. 三角形に内接する楕円の作図
    3. 極線上の点の極線
    4. 三角形の極線と内接二次曲線と極の関係
    5. 三角形の極線上の点の極線が接線であることの証明
  5. オイラー線上の点の極線の軌跡
    1. 放物線に外接する三角形の性質
    2. 三角形に内接する円錐曲線の作図
    3. オイラー線上の極点の極線の軌跡
    4. 重心を通る極線の内接二次曲線は放物線
    5. オイラー線の極の作図
  6. パスカルの直線と極線
    1. 三角形の極と極線と内接する二次曲線
    2. パスカルの定理　Pascal's　theorem
    3. 等距離六角形のパスカルの直線の極線
    4. パスカル線の包絡線の作図
  7. 楕円の極線と三角形の極線
    1. 内接二次曲線の接線
    2. 楕円と極線から三角形を作る
    3. 四角形の極線（楕円の外接四角形）
    4. 楕円の極と極線から外接三角形を作図
    5. チェバ三角形と外接三角形
    6. 楕円と極からチェバ三角形を作図する
    7. 三角形の極線の極線の秘密
    8. ジェルゴンヌの定理
  8. 現象をさかのぼる
    1. 内分と外分（調和列点）
    2. 極線の調和列点
    3. 基本の絵から
    4. まとめの絵

1.

三角形の中心を求めるコマンド

まずは三角形の中心を求めるコマンド。 これを順番に表すこともできるし、Sequenceを使うと一度に表すこともできる。 今まで、作図で中心を一個一個求めていた。何だったんだろうと思ってしまう。

  • 1. 三角形の心の作図のコマンド
  • 2. 等角等距離双曲線と三角形の心
  • 3. 三角形の中心の作る宇宙

1.1.

三角形の心の作図のコマンド

TriangleCenter(A, B, C, 4)と入力してみてください。垂心をすぐに求めてくれます。このコマンドは三角形の心を３０５３個まで出します。これらの心は９点円や外接円、オイラー線などに重なっています。どんな線に重なっているのか調べました。
三角形の心の分類のサイト
[url=http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html]TriangleCenterの全て[br][/url][url=http://mathworld.wolfram.com/TriangleCenter.html]TriangleCenter[br][/url][url=http://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/wd/glossary/triangle-centers.html]三角形の心[/url]
– Bunryu Kamimura

1.2.

–

1.3.

–

2.

三角形の中心が直線（極線）上にある

これらの中心を見ていると、同じ直線上に並ぶ中心がある事に気がつく。 中心が３点以上ある直線をまずは片っ端から作図してみる。 これは際限のない試行錯誤である。 そのうち、何か法則があるのではないかと気がつく。 最初に気がついたのが、傍心三角形と垂足三角形の延長上の交点を通る直線。 それは、垂心を極とする極線だった。 そこで「心」を極として極線を片っ端に作ってみる。

  • 1. 極線と傍心三角形
  • 2. 三角形の心と極線
  • 3. 三角形の中心を極とする極線
  • 4. 三角形の中心を極とする極線
  • 5. 垂軸とオイラー線

2.1.

極線と傍心三角形

傍心三角形ＨＰＧの垂心を極とする極線
– Bunryu Kamimura

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

3.

三角形の極と極線

一つの極に対して一つの極線ができる。 そして、オイラー線ですらもある極の極線であることがわかる。 そもそも極線とは何か？ それはメネラウスの定理から出てくる。 メネラウスの定理だけを見ていてはわからないけど、こうやって作図をしていると、極線がすでにこの定理の中にあることや極点もあったことに気がつく。

  • 1. 円から三角形の極線へ
  • 2. 極と極線は一対一に対応
  • 3. 極と極線の極線
  • 4. 三角形に関する極と極線
  • 5. メネラウスの定理
  • 6. 極線から極を求める（メネラウスの定理）
  • 7. 内分外分からメネラウス・チェバの定理の証明へ

3.1.

円から三角形の極線へ

– Bunryu Kamimura

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

4.

三角形に内接する二次曲線

内心を極とする三角形の極線は三角形の中心が多く並んでいる。 逆に、この線上にある点を極とする極線はどうなっているのか、調べてみた。 すると、その軌跡は三角形に内接する楕円を描いている。 そこで、まず、三角形に内接する楕円の作図を調べることにした。 ここで大事なことは作図の順番。 定理の逆も作図の順番で表現できる。

  • 1. 楕円に外接する三角形
  • 2. 三角形に内接する楕円の作図
  • 3. 極線上の点の極線
  • 4. 三角形の極線と内接二次曲線と極の関係
  • 5. 三角形の極線上の点の極線が接線であることの証明

4.1.

楕円に外接する三角形

楕円に外接する三角形を作図する。接点と頂点を結んだ線は一点で交わる（接点を含めると六角形になるから）。今度は、接点同士を結んでみよう。すると、Ｄを極とする極線が現れる。
– Bunryu Kamimura

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

5.

オイラー線上の点の極線の軌跡

内心の極線の次は、オイラー線だ。 オイラー線上の極点の極線はなんと三角形に接する放物線になっている。 そこで三角形に接する放物線の作図を考えてみた。

  • 1. 放物線に外接する三角形の性質
  • 2. 三角形に内接する円錐曲線の作図
  • 3. オイラー線上の極点の極線の軌跡
  • 4. 重心を通る極線の内接二次曲線は放物線
  • 5. オイラー線の極の作図

5.1.

放物線に外接する三角形の性質

ピンクの放物線を最初に描いて、接点Ｄ・Ｇ・Ｅをとって接線を引いて三角形ＰＨＩを作る。この時、頂点と接点を結ぶ線は一点Ｊで交わる。しかもＲとＫは放物線上にある。
– Bunryu Kamimura

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

6.

パスカルの直線と極線

等距離共役の６つの足は同一楕円上にある。 この楕円の各辺を延長してパスカルの定理を当てはめると、直線ができる。 この直線は一種の極線と考えることができる。 そして、この直線上の点を極とする曲線の包絡線は三角形に内接する二次曲線となる。 この続きはパップスとパスカルの定理へ [url]https://www.geogebra.org/m/hqtDyZt3[/url] 内接楕円には内接六角形があり、それはパスカルの定理も自然に含んでいることがわかる。 つまり、パスカル線もパップス線もメネラウス線も三角形の極線だったのだ。

  • 1. 三角形の極と極線と内接する二次曲線
  • 2. パスカルの定理　Pascal's　theorem
  • 3. 等距離六角形のパスカルの直線の極線
  • 4. パスカル線の包絡線の作図

6.1.

三角形の極と極線と内接する二次曲線

三角形ＡＢＣにおいて、Ｄを極とする極線はＨＩＪ。その極線上の点を極とする極線はピンクの二次曲線に接する。△ＥＦＧは内接三角形の拡張である。
気がついたこと
二次曲線が放物線になるのは、Ｄを下に持ってきて、ＥＬとＧＫを平行にした時。[br]TriangleCenter( A,B, C, 3 )と入力すると外心。４で垂心。オイラー線がわかる。
– Bunryu Kamimura

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

7.

楕円の極線と三角形の極線

三角形の極線とその内接楕円の極線は一致する。 そして、三角形から内接楕円は作図できる。 では、逆に楕円と極と極線から外接する三角形を作図することはできるのだろうか？ あまりに複雑すぎて混乱してくるが、極と極線と外接多角形との関係が少しずつ浮かんでくる。 ポイントはやはり三角形だった。

  • 1. 内接二次曲線の接線
  • 2. 楕円と極線から三角形を作る
  • 3. 四角形の極線（楕円の外接四角形）
  • 4. 楕円の極と極線から外接三角形を作図
  • 5. チェバ三角形と外接三角形
  • 6. 楕円と極からチェバ三角形を作図する
  • 7. 三角形の極線の極線の秘密
  • 8. ジェルゴンヌの定理

7.1.

内接二次曲線の接線

内接楕円上の点Ｐを動かしてみよう。ＰとＱの接線の交点は極線上にある。つまり△ＡＢＣの極線と楕円ピンクの極線が同じということを示している。これは意外であった。
– Bunryu Kamimura

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

7.5.

–

7.6.

–

7.7.

–

7.8.

–

8.

現象をさかのぼる

極と極線を追求していたら、だんだんと基本原理の方へやってきた。最も基本は内分と外分であることがわかり、そこからメネラウスやチェバの定理が出てきて、極や極線が出てくる。 これは作図から証明へと至る過程でもある。

  • 1. 内分と外分（調和列点）
  • 2. 極線の調和列点
  • 3. 基本の絵から
  • 4. まとめの絵

8.1.

内分と外分（調和列点）

AとＢの内分点がＣで外分点がＢ’。比の取り方は右上に。Ｂ’の比からの求め方は、Dilate(B, 1 / (1 - a), A)：ａ＝ＣＢ／ＡＣだが、作図でも簡単に求めることができる。この４点の間には左下のきれいな関係があり、調和列点（点列）と呼ばれる。Ｃの位置によってＢ’が左側に来る場合がある。
– Bunryu Kamimura

8.2.

–

8.3.

–

8.4.

–

Information