Analytische Geometrie - 3D
Table of Contents
- Vektoren
- Kreuzprodukt von zwei Vektoren
- Volumen
- Volumen eines Parallelepipeds
- Ebenen im Raum
- Schnitt von 3 Ebenen
- Schnitt Gerade - Ebene
- Geraden im Raum
- Wahre Länge
- Kreuzende Geraden (3D)
- Abstand eines Punktes von einer Geraden
- Berechnung des Abstands Punkt - Gerade
- Pyramide
- Pyramide 1
- Kugel
- Schnitt von drei Kugeln
- Kugelkoordinaten
- Kürzeste Flugroute
Kreuzprodukt von zwei Vektoren
Unter dem [b]Kreuzprodukt [/b]oder [b]Vektorprodukt [/b]von zwei Vektoren [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] versteht man jenen Vektor [math]\vec{c}[/math] - geschrieben als [math]\vec{a} \times \vec{b}[/math] - , der folgende Eigenschaften erfüllt:[br][list=1][br][*] [math]\vec{a} \times \vec{b}[/math] steht normal auf [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math].[br][*][math]|\vec{a} \times \vec{b}|[/math] gibt den Flächeninhalt des von den Vektoren [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] aufgespannten Parallelogramms an.[br][*][math]\vec{a}[/math], [math]\vec{b}[/math] und [math]\vec{c}[/math] bilden ein Rechtssystem.[br][/list]
Andreas Lindner
Volumen eines Parallelepipeds
Das Volumen eines Parallelepipeds kann mit der Formel [math]V = \left\vert \left( \vec{a} ×\vec{b} \right) \cdot \vec{c} \, \right\vert [/math] berechnet werden, [br]wobei [math]\vec{a} = \vec{AB}, \, \vec{b} = \vec{AC}[/math] und [math]\vec{c} = \vec{AE}[/math].[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Bewege den Eckpunkt E parallel zur Grundfläche. [br]Warum ändert sich in diesem Fall der Wert des Volumens nicht?
Andreas Lindner
Schnitt von 3 Ebenen
Durch die Gleichungen[br][math] \varepsilon_{1}: a_{1} \cdot x + b_{1} \cdot y + c_{1} \cdot z = d_{1} [/math][br][math] \varepsilon_{2}: a_{2} \cdot x + b_{2} \cdot y + c_{2} \cdot z = d_{2} [/math][br][math] \varepsilon_{3}: a_{3} \cdot x + b_{3} \cdot y + c_{3} \cdot z = d_{3} [/math][br]sind drei Ebenen gegeben.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]a) Verändere die Schieberegler für die Koeffizienten der Gleichungen und beobachte die Auswirkungen.[br]b) Stelle die Koeffizienten so ein, dass[br][list][*] 2 Ebenen parallel sind,[br][/*][*] 3 Ebenen parallel sind,[br][/*][*] alle 3 Ebenen ein Ebenenbüschel bilden (sie schneiden sich in einer gemeinsamen Geraden).[/*][/list]
Wahre Länge
Veranschaulichung der wahren Länge einer Strecke s.
Andreas Lindner
Pyramide 1
Die Punkte A(6|1|12), B(-6|-2|9), C(-2|-7|-2) und D sind die Basis einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche.[br]a) Bestimme D als Schnittpunkt der Ebene ε: 2x + y - 4z = 12 mit der Geraden g: X = (6|-2|1) + t·(2|-1|0) und weise nach, dass sich D mit A,B und C zu einem Quadrat ergänzt.[br]b) Ermittle die Koordinaten S der Spitze der Pyramide, wenn die Höhe 9 LE beträgt (2 Möglichkeiten).
Pyramide 1
Andreas Lindner
Schnitt von drei Kugeln
Das Applet zeigt die Konstruktion und die Berechnung eines Schnittpunkts von 3 Kugeln.[br][br]Bewege die Mittelpunkte der Kugeln.
Andreas Lindner