TÓPICOS DE GEOMETRIA ESPACIAL - ESTUDO DA ESFERA

Gleidson Marques, Sep 12, 2017

Esse livro é fruto de estudos da disciplina Tecnologias de Informática Aplicadas ao Ensino de Matemática do Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática da Universidade do Estado do Pará (UEPA) e possibilita um estudo completo acerca de geometria espacial na educação básica, tendo como foco de estudo o sólido ESFERA. Nele, encontram-se a definição, os elementos, a construção das fórmulas para cálculo de área e volume da esfera e suas partes. No Final de cada seção, são apresentados algumas atividades, cujo objetivo é trabalhar a resolução de problemas conforme vem sendo exigido na matriz de referência do exame nacional do ensino médio (ENEM). Autores: Prof. Gleidson Everton de Alcântara Marques Prof. Giancarlo Oliveira do Nascimeno Orientadores: Prof. Dr. Cinthia Cunha Maradei Pareira Prof. Dr. Fábio José da Costa Alves

Table of Contents

  1. ELEMENTOS DA ESFERA
    1. ELEMENTOS DA ESFERA
  2. SECÇÃO ESFÉRICA
    1. SECÇÃO ESFÉRICA
  3. ÁREA E VOLUME
    1. ÁREA E VOLUME DA ESFERA
  4. FUSO ESFÉRICO E CUNHA ESFÉRICA
    1. PARTES DA ESFERA

1.

ELEMENTOS DA ESFERA

  • 1. ELEMENTOS DA ESFERA

1.1.

ELEMENTOS DA ESFERA

DEFINIÇÃO E ELEMENTOS
[size=100][size=150][justify]Considere um ponto A e um n° real R positivo qualquer.[br]Chama-se de esfera ao sólido geométrico formado por todos os pontos do espaço que estão a uma distância menor do que ou igual a R do ponto A.[br]A superfície formada por todos os pontos cuja distância ao ponto A é igual a R chamamos de superfície esférica.[br]Na figura abaixo temos os seguintes elementos:[br][/justify][b]A[/b]    (Centro da esfera)[br][b]AB = AC [/b](Raio da esfera)[br][b]BC = 2R[/b]  (Diâmetro da esfera)[/size][/size]
Figura 1 - ESFERA E SEUS ELEMENTOS
ATIVIDADE 1
Um inseto encontra-vai se deslocar sobre uma superfície esférica de raio 50 cm, desde um ponto A até um ponto B, diametralmente opostos, conforme figura.
O menor trajeto possível que o inseto pode percorrer tem comprimento igual a[br]
ATIVIDADE 2
Considere que a bola da figura abaixo temos o formato perfeitamente esférico e as medidas indicadas na figura.
O valor que representa o medida do diâmetro da bola, em cm, é
– Gleidson Marques

2.

SECÇÃO ESFÉRICA

  • 1. SECÇÃO ESFÉRICA

2.1.

SECÇÃO ESFÉRICA

SECÇÃO ESFÉRICA
[i]Se um plano [/i][math]\alpha[/math][i] intercepta uma esfera, este sempre determina com a esfera um círculo chamado de secção esférica.[br][br]Quando esse Interseção contém o centro da esfera, o círculo terá o mesmo raio R da esfera.[br][br]Entretanto, quando essa interseção não contém o centro da esfera, conhecidos o raio R e a altura do corte em relação ao centro d, o raio r da secção pode ser encontrado pelo TEOREMA DE PITÁGORAS, conforme abaixo.[br][br][/i][justify][math]R^2=d^2+r^2[/math][br][br][i]Conhecido o valor de r, pode-se calcular a [b]ÁREA DA SECÇÃO.[/b][/i][/justify][br]
FIGURA 1 - ÁREA DA SECÇÃO ESFÉRICA
ATIVIDADE 3
Uma esfera de raio R = 15 cm é seccionada por um plano [math]\alpha[/math] a uma distância de 12 cm do seu centro. Dessa forma o valor da área da secção esférica assim gerada é igual a
ATIVIDADE 4
Uma esfera de raio R = 15 cm é seccionada por um plano [math]\alpha[/math] a uma distância de 12 cm do seu centro. Dessa forma o valor da área da secção esférica assim gerada é igual a
– Gleidson Marques

3.

ÁREA E VOLUME

  • 1. ÁREA E VOLUME DA ESFERA

3.1.

ÁREA E VOLUME DA ESFERA

ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA
[i]A Área da superfície esférica depende do raio R e pode ser encontrada pela fórmula:[br][br][math]A=4\cdot\pi\cdot R^2[/math][/i]
Figura 2 - CÁLCULO DA ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA
VOLUME DA ESFERA
[i][justify]Segundo o PRINCÍPIO DE CAVALIERI, dois sólidos de mesma altura tem volumes iguais quando as áreas das secções obtidas sobre esses sólidos, por um plano paralelo a suas bases têm o mesmo valor.[br][br]Dessa forma, o volume de uma semi-esfera (meia esfera) é igual ao volume de um cilindro menos o volume de um cone, ambos com altura h e raio da base iguais ao raio R da esfera.[br][br]Observe a animação da figura abaixo, onde temos uma semi-esfera de raio R = 2 .[/justify][/i]
Figura 3 - VERIFICAÇÃO DO PRINCÍPIO DE CAVALIERI
[justify][i][math]V_{semi-esfera}=V_{cilindro}-V_{cone}=\pi\cdot R^2\cdot h-\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot R^2\cdot h=\frac{2}{3}\cdot\pi\cdot R^2\cdot h[/math][br][br]Como temos h = R, então[br][br][math]V_{semi-esfera}=\frac{2}{3}\cdot\pi\cdot R^3[/math][br][br]Portanto, podemos concluir que o volume da esfera será dado por:[/i][br][/justify][br][math]Vesfera=2\cdot V_{semi-esfera}[/math] [br][br][math]V_{esfera}=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot R^3[/math]
Figura 4 - CÁLCULO DO VOLUME DA ESFERA
ATIVIDADE 5
[justify](Imed 2016) Uma bola maciça, totalmente vedada, em formato de uma esfera perfeita, de diâmetro igual a 2 metros, foi lançada em uma piscina, de base retangular com dimensões medindo 5 metros e 12 metros e com água até a altura de 1,2 metros. Sabendo que a bola ficou completamente submersa pela água, quantos metros o nível da água se elevará?[/justify]
ATIVIDADE 6
[justify](Enem PPL 2015) Um artesão fabrica vários tipos de potes cilíndricos. Mostrou a um cliente um pote de raio de base a e altura b. Esse cliente, por sua vez, quer comprar um pote com o dobro do volume do pote apresentado. O artesão diz que possui potes com as seguintes dimensões:[br][br]- Pote I: raio a e altura 2b[br]- Pote II: raio 2a e altura b[br]- Pote III: raio 2a e altura 2b[br]- Pote IV: raio 4a e altura b[br]- Pote V: raio 4a e altura 2b[br][br]O pote que satisfaz a condição imposta pelo cliente é o[/justify]
ATIVIDADE 7
[justify](Cefet-MG 2014) Um artesão resolveu fabricar uma ampulheta de volume total V constituída de uma semiesfera de raio 4 cm e de um cone reto, com raio e altura 4 cm, comunicando-se pelo vértice do cone, de acordo com a figura abaixo.[/justify]
Para seu funcionamento, o artesão depositará na ampulheta areia que corresponda a 25% de V. Portanto o volume de areia, em cm³, é
– Gleidson Marques

4.

FUSO ESFÉRICO E CUNHA ESFÉRICA

  • 1. PARTES DA ESFERA

4.1.

PARTES DA ESFERA

FUSO ESFÉRICO
Chama-se fuso esférico a ÁREA obtida sobre a esfera a partir uma rotação de um semi-círculo sob um ângulo [math]\alpha[/math] em torno do eixo que contém seu diâmetro.
A área do fuso esférico depende do raio da esfera e do ângulo central [math]\alpha[/math] e é dada pela fórmula:[br][br][math]A_{fuso}=2\cdot R^2\cdot\alpha[/math] (com [math]\alpha[/math] sendo dado em radianos)
CUNHA ESFÉRICA
Chama-se de cunha esférica ao sólido obtido quando giramos um semi-círculo em torno de um ângulo [math]\alpha[/math] através de um eixo que contém o seu diâmetro.
O volume da cunha esférica depende do ângulo [math]\alpha[/math] e do raio da esfera é pode ser calculado pela fórmula:[br][math]V=\frac{2\cdot R^3\cdot\alpha}{3}[/math] (com [math]\alpha[/math] sendo dado em radianos)
ATIVIDADE 8
(FGV-SP) Um observador colocado no centro de uma esfera de raio 5 m vê o arco AB sob um ângulo α de 72°, como mostra a figura. Isso significa que a área do fuso esférico determinado por α é:
ATIVIDADE 9
(Udesc 2015) Uma bola esférica é composta por 24 faixas iguais, como indica a figura.
Sabendo-se que o volume da bola é 2304π cm³, então a área da superfície de cada faixa é de:
– Gleidson Marques

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