[color=#1e84cc]In isosceles triangles the angles at the base equal one another, and, if the equal straight lines are produced further, then the angles under the base equal one another.[/color][br][url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI5.html]viz[/url]

[color=#1e84cc]V trojúhelnících rovnoramenných úhly při základně jsou si rovny, a prodlouží-li se stejné úsečky (ramena), úhly pod základnou budou si rovny.[/color]

[color=#1e84cc]Je-li trojúhelník rovnoramenný, potom platí:[br]a) vnitřní úhly u základny jsou shodné[br]b) vnější úhly u základny jsou shodné[/color][i][br][/i]

[br]1. Nechť trojúhelník [i][math]\Delta[/math]ABC[/i] je rovnoramenný a rameno [i]AB[/i] je rovno ramenu [i]AC[/i]. ([url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/defI20.html]I.Def.20[/url]).[br]2. Prodlužme úsečky [i]AB[/i] a [i]AC[/i] o úsečky [i]BD[/i] a [i]CE[/i]. ([url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/post2.html]I.Post.2[/url]). Pravím, že [math]\angle[/math][i]ABC[/i] = [i]ACB[/i] a [i][math]\angle[/math]CBD[/i] = [i]BCE[/i].[br]3. Vezměme na [i]BD[/i] kterýkoli bod [i]F[/i] a od delšího [i]AE[/i] odřízněme [i]AG[/i] rovné menšímu [i]AF[/i]. ([url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI3.html]I.3[/url])[br]4. Veďme úsečky [i]GC[/i], [i]GB[/i]. ([url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/post1.html]I.Post.1[/url])[br]5. Trojúhelníky [i][math]\Delta[/math]AFC[/i] a [i][math]\Delta[/math]AGC[/i] se shodují ve dvou stranách ([i]AF[/i] = [i]AG[/i] a [i]AB[/i] = [i]AC[/i]) a v úhlu [i]BAC[/i] jimi sevřeném. Proto jsou shodné ([url=http://aleph0.clarku.edu/%7Edjoyce/java/elements/bookI/propI4.html]věta sus – I.4[/url])[br]6. Z toho plyne, že se shodují i ve zbylé straně – tedy [i]FC[/i] = [i]GB[/i].[br]7. Dále z toho plyne, že se shodují i v ostatních dvou úhlech – tedy [i][math]\angle[/math]AFC[/i] = [i]AGB[/i] a [i][math]\angle[/math]ABG[/i] = [i]ACF[/i].[br]8. Jelikož celé [i]AF[/i] je rovno celému [i]AG[/i], z čehož [i]AB[/i] = [i]AC[/i], zbytek tedy [i]BF[/i] = [i]CG[/i]. ([url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/cn.html]Axiom 3[/url])[br]9. Trojúhelníky [i][math]\Delta[/math]BFC[/i] a [i][math]\Delta[/math]CGB[/i] se shodují ve dvou stranách ([i]BF[/i] = [i]CG[/i] a [i]FC[/i] = [i]GB[/i]) a v úhlech jimi sevřených ([i][math]\angle[/math]AFC[/i] = [i]AGB[/i]). Proto jsou shodné ([url=http://aleph0.clarku.edu/%7Edjoyce/java/elements/bookI/propI4.html]věta sus – I.4[/url]).[br]10. Z toho plyne, že se shodují i v úhlech [i][math]\angle[/math]FBC[/i] a [math]\angle[/math][i]GCB[/i]. Tedy vnější úhly u základny [i]BC[/i] jsou shodné, čímž [b]je dokázána druhá část tvrzení[/b]. [br]11. Dále z toho plyne, že se shodují i v úhlech [i][math]\angle[/math]GBC[/i] a [i][math]\angle[/math]FCB[/i]. [br]12. Jelikož celý úhel [i][math]\angle[/math]ABG[/i] je roven úhlu [i][math]\angle[/math]ACF[/i] a části [i][math]\angle[/math]GBC[/i] a [math]\angle[/math][i]FCB[/i] jsou si rovny, musí se rovnat i zbytky, tedy [math]\angle[/math][i]ABC[/i] = [i]ACB[/i] ([url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/cn.html]Axiom 3[/url]). Vnitřní úhly u základny [i]BC[/i] jsou tedy shodné, čímž [b]je dokázána i první část tvrzení[/b].

[url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI5.html]Další podrobnosti[/url]