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Dynamische Mathematik mit GeoGebra 3D
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1. Einleitung
- GeoGebra 3D und GeoGebraBooks
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2. Raumgeometrie
- Dodekaeder
- Abwicklung eines Kegels
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3. Funktionen
- Graph einer Funktion in zwei Variablen
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4. Analytische Geometrie
- Kreuzende Geraden (3D)
- Volumen eines Parallelepipeds
- Schnitt von 3 Ebenen
- Schnitt von drei Kugeln
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5. Differentialrechnung
- Saftbox
- Kegel mit eingeschriebenem Zylinder
- Tangentialebene an eine Fläche (Animation)
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6. Integralrechnung
- Cavalieri-Prinzip
- Volumen einer Pyramide
- Staumauer
- Cavalieri-Prinzip
- Dom zu Speyer
- Rotationskörper
- Berechnung des Rotationsvolumens
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7. Darstellende Geometrie
- Schnitt von zwei Zylindern
- Rohrschraubfläche
- Parallelprojektion eine Würfels
- Der Schatten einer Kugel - Parallelprojektion
- Der Schatten einer Kugel - Zentralprojektion
- Zentralprojektion eines Würfels - Perspektive 1
- Ebener Schnitt eines Zylinders
- Dandelin'sche Kugeln
- Kürzeste Flugroute
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8. Physik
- Überlagerung von Kreiswellen
- Vektorfeld im R³
- Zirkular polarisierte Wellen
- Schwingendes Pendel und Lissajous-Figuren
- Addition von Geschwindigkeiten
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9. GeoGebra-Konferenz
- GeoGebra Konferenz
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Dynamische Mathematik mit GeoGebra 3D
Andreas Lindner, Mar 15, 2015
Vortrag am Lehrer/innen/fortbildungstag der ÖMG 11. April 2015 Universität Wien
Table of Contents
- Einleitung
- GeoGebra 3D und GeoGebraBooks
- Raumgeometrie
- Dodekaeder
- Abwicklung eines Kegels
- Funktionen
- Graph einer Funktion in zwei Variablen
- Analytische Geometrie
- Kreuzende Geraden (3D)
- Volumen eines Parallelepipeds
- Schnitt von 3 Ebenen
- Schnitt von drei Kugeln
- Differentialrechnung
- Saftbox
- Kegel mit eingeschriebenem Zylinder
- Tangentialebene an eine Fläche (Animation)
- Integralrechnung
- Cavalieri-Prinzip
- Volumen einer Pyramide
- Staumauer
- Cavalieri-Prinzip
- Dom zu Speyer
- Rotationskörper
- Berechnung des Rotationsvolumens
- Darstellende Geometrie
- Schnitt von zwei Zylindern
- Rohrschraubfläche
- Parallelprojektion eine Würfels
- Der Schatten einer Kugel - Parallelprojektion
- Der Schatten einer Kugel - Zentralprojektion
- Zentralprojektion eines Würfels - Perspektive 1
- Ebener Schnitt eines Zylinders
- Dandelin'sche Kugeln
- Kürzeste Flugroute
- Physik
- Überlagerung von Kreiswellen
- Vektorfeld im R³
- Zirkular polarisierte Wellen
- Schwingendes Pendel und Lissajous-Figuren
- Addition von Geschwindigkeiten
- GeoGebra-Konferenz
- GeoGebra Konferenz
GeoGebra 3D und GeoGebraBooks
Gestaltung von GeoGebraBooks
Die folgenden Beispiele zu GeoGebra 3D sind in einem GeoGebraBook zusammengefasst. Diese "Bücher" sind eine Möglichkeit, Materialien zu einem bestimmten Thema zu sammeln. Dabei muss es sich nicht notwendigerweise um mathematische Inhalte handeln.
In GeoGebraBooks können Texte, Formeln, Grafiken, Applets und Videos integriert werden.
Ein Beispiel für Fomeln: Beschreibung des schiefen Wurfes
Ein schiefer Wurf kann aber auch dreidimensional in einem dynamischen Applet dargestellt werden.
Ein kurzer Einblick in GeoGebra 3D
Das folgende Video soll einen kurzen Einblick in GeoGebra 3D geben. Es ist ein Beispiel eines Videos aus dem GeoGebraChannel auf Youtube.Dodekaeder
Dodekaeder (Zwölfflächner)
Andreas Lindner
Graph einer Funktion in zwei Variablen
Das Applet zeigt den Graph einer Funktion f in zwei Variablen:
Aufgabe
Verschiebe den Punkt A' und lies seine Koordinaten in der Tabelle ab.
Gib eine andere Funktion f ein und untersuche ihren Graphen.
Hinweis: Mögliche andere Funktionen sind
f(x,y) = sin(x+y)
f(x,y) = e^-(x^2 + y^2)
f(x,y) = x y
Kreuzende Geraden (3D)
Das Applet zeigt der Normalabstand zweier sich kreuzender Geraden.
Aufgabe
Verändere die Position der Punkte A, B und C, D.
Versuche, eine der beiden Geraden projizierend zu machen. Was siehst du in diesem Fall?
Andreas Lindner
Saftbox
Eine Saftbox mit 1 Liter (1000 ml) Inhalt soll eine quadratische Grundfläche haben.
Wie hoch ist die Saftbox, wenn der Materialverbrauch für die Verpackung möglichst gering sein soll?
Aufgabe
a) Verändere die Lage des Punktes B und versuche durch Probieren, das Minimum zu bestimmen.
b) Löse die Aufgabe mit dem CAS.
Cavalieri-Prinzip
Im Applet siehst du eine gerade und eine schiefe Pyramide.
Aufgabe
- Bewege die Spitze vertikal und die Spitze horizontal.
- Drehe die Konstruktion in den Grundriss und vergleiche die Größen der beiden Schnittfiguren mit der blauen Ebene ε.
- Verändere mit dem Schieberegler die Höhe h und vergleiche wieder die Größen der beiden Schnittfiguren.
Andreas Lindner
Darstellende Geometrie
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1. Schnitt von zwei Zylindern
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2. Rohrschraubfläche
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3. Parallelprojektion eine Würfels
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4. Der Schatten einer Kugel - Parallelprojektion
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5. Der Schatten einer Kugel - Zentralprojektion
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6. Zentralprojektion eines Würfels - Perspektive 1
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7. Ebener Schnitt eines Zylinders
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8. Dandelin'sche Kugeln
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9. Kürzeste Flugroute
Schnitt von zwei Zylindern
Aufgabe
Verändere die Radien der beiden Zylinder.
Zur Herleitung der Gleichung der Schnittkurve
Für den grauen Zylinder mit dem Radius ist die y-Achse die Rotationsachse.
Er kann durch die Gleichung oder in Parameterform als beschrieben werden.
Der Befehl zur Darstellung als Fläche lautet in GeoGebra:
Für den grünen Zylinder mit dem Radius ist die z-Achse die Rotationsachse.
Er kann durch die Gleichung oder in Parameterform als beschrieben werden.
Der Befehl zur Darstellung als Fläche lautet in GeoGebra:
Wenn man die einzelnen Komponenten der Parameterdarstellung von in die Gleichung für einsetzt, ergibt sich:
und daraus
Die Gleichung der Schnittkurve lautet deshalb in Parameterform:
Der entsprechende Befehl (für den oberen Teil der Kurve) lautet in GeoGebra:
Literatur
Georg Glaeser: Der mathematische Werkzeugkasten. Anwendungen in Natur und Technik. München 2006
Überlagerung von Kreiswellen
Spiele die Animation ab.
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