[b][color=#ff0000][url=http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/6b.html]http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/6b.html[/url][/color][/b]

[table][tr][td][color=#0000ff][b]le isometrie inverse (o invertenti)[/b][/color][list][*]coniugazione seguita da roto-traslazione: se, prima di eseguire una roto-traslazione, si esegue un [b]ribaltamento intorno all'asse reale[/b] (ossia la isometria [b]conj[/b]), si ottiene quel che si chiama una [b]isometria inversa[/b] (o [i][b]invertente[/b][/i]). Pertanto, una isometria inversa è una trasformazione del tipo: [b]T[sub]v[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]R[sub]u[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]conj[/b]   con u[img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/appartiene.gif[/img]U e v[img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/appartiene.gif[/img]C[br] [/*][*]le isometrie inverse e la [b]sovrapponibilità[/b] di figure piane [b]uscendo dal piano[/b]: se una figura F viene trasformata nella figura F' da un'isometria invertente, si ha che F e F' sono della stessa forma e grandezza, ma [b]non è possibile[/b] portare F a sovrapporsi a F' [b]se non[/b] uscendo dal piano[br] [/*][*]formula di un'isometria inversa: ricaviamo subito, dalla definizione: [b](T[sub]v[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]R[sub]u[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]conj)(z) = u•z + v[/b][br] [/*][*]roto-traslazione seguita da coniugazione: se la coniugazione si opera dopo la roto-traslazione si ha:[br][b](conj[img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]T[sub]v[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]R[sub]u[/sub])(z) = u•z + v = u•z + v = u•z + v = (T[sub] v[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]R[sub]u[/sub])(z)[/b], ossia:   [b]conj [img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img] T[sub]v[/sub] [img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img] R[sub]u[/sub] = T[sub] v[/sub] [img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img] R[sub]u[/sub] [img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img] conj[/b] [br] [/*][*]proprietà delle isometrie inverse:[/*][/list][list][*]composizione di isometrie inverse: [b]la composta di due isometrie inverse è una isometria diretta[/b]. Infatti:[br][b](T[sub]v'[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]R[sub]u'[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]conj) [img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img] (T[sub]v[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]R[sub]u[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]conj) = (T[sub]v'[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]R[sub]u'[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]conj) [img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img] (conj[img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]T[sub]v[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img] R[sub]u[/sub]) = (T[sub]v'[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]R[sub]u'[/sub]) [img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img] (T[sub]v[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img] R[sub]u[/sub])[/b]  e quest'ultima è la composta di due roto-traslazioni e quindi, come visto, è una roto-traslazione[/*][*]coniugazione e altri ribaltamenti: [b]la coniugazione è una isometria inversa[/b], in quanto [b]conj = id[img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]conj[/b] (e l'identità è una isometria diretta). E' però più interessante osservare che se si vuol ribaltare un punto z non intorno all'asse reale, ma intorno a una generica retta contenente un punto [b]unitario[/b] u, basta ruotare z con la rotazione [b]R[sub]1/u[/sub]=R[sub]u[/sub][/b] (che porta u in 1), poi effettuare la coniugazione, e infine ruotare con la rotazione [b]R[sub]u[/sub][/b] (che porta 1 in u). Si ottiene così la cosiddetta [b]simmetria assiale intorno alla retta Ru[/b], data dalla formula: [b]S[sub]u[/sub] := R[sub]u[/sub] [img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img] conj [img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img] R[sub]1/u[/sub][/b]. [br]Anche questa trasformazione è una [b]isometria invertente[/b] ([i]provarlo come esercizio[/i])[/*][*]inversione di una isometria invertente: l'isometria invertente   [b]T[sub]v[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]R[sub]u[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]conj[/b]   ha come trasformazione inversa l'isometria invertente   [b]conj[img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]R[sub]1/u[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]T[sub]-v[/sub][/b] [/*][*][b]inversione dell'orientamento[/b]: dati tre punti A, B, C e una isometria invertente che li porti rispettivamente in A', B', C', i percorsi ABC e A'B'C' sono uno orario e l'altro antiorario, oppure uno antiorario e l'altro orario (brevemente si dice che sono [i][b]discordi[/b][/i]). In effetti basta osservare che questo scambio di versi di percorrenza è effettuato da [b]conj[/b] e che la componente rototraslativa di una isometria invertente non fa altro che mantenere il verso che conj ha invertito.[/*][/list][/td][/tr][/table][table][tr][td][br][/td][/tr][/table]