Problems that Challenge our Intuition

Diego Lieban, Apr 7, 2015

This book combines three different problems whose objective is, from them (and related files), discuss the creative and argumentation process and how they can influence the mathematical reasoning.

Table of Contents

  1. Introduction
  2. Tasting palm hearts
    1. Motivational Videos and Images
    2. Tasting palm hearts (Saboreando Palmitos)
    3. Parameterizing the palm heart cut
    4. Related Papers
    5. Students thinking together
  3. Looking for a point in the map
    1. The Maps Problem and the Fixed Point Theorem
    2. Related Papers
  4. Shortening routes
    1. Defining a plane route (Definindo uma rota aérea)
  5. About the author
    1. About the author
  6. Related materials
    1. Unwrapping a Cylinder Cut by An Oblique Plane
    2. plaatsbepaling
    3. De kortste weg
    4. Decimal numbers and fractions through recursive iterations

1.

Introduction

This work intends to present three different problems which have had their motivation conceived in an approach that allows a reflection about the benefits of GeoGebra software use in the classroom regarding critical reasoning in mathematics teaching. Although the comparison comprehends math manipulative and digital resources, this proposal has no interest to discourage the use of concrete material, but only points out digital resources as an alternative which can be more efficient in some cases. Those experiences have started being designed in Brazil and have had significant contributions from the author's participation in a teacher training program in Finland, which had PBL - Problem Based Learning model as one of its basic assumptions. In this sense, the idea is to value student-centred learning models in a system that is traditionally teacher-centred learning. To discuss this approach as well as some aspects concerning creative and argumentative process in math learning are some specific goals to this work.


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2.

Tasting palm hearts

  • 1. Motivational Videos and Images
  • 2. Tasting palm hearts (Saboreando Palmitos)
  • 3. Parameterizing the palm heart cut
  • 4. Related Papers
  • 5. Students thinking together

2.1.

Motivational Videos and Images

Cut Palm Hearts
TRAILER Tasting Palm Hearts
Heart of Palm Harvest
– Diego Lieban

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

–

3.

Looking for a point in the map

[color=#198f88][i]English[/i][/color] Here we present two works regarding this worksheet (the papers are at the links below the abstracts, but, unfortunately, only in portuguese. So, to go directly to the workshhet, skip this step. [color=#198f88][i]Português[/i][/color] Nesta seção, estão relacionados dois trabalhos correlatos ao [i]applet[/i] desenvolvido, cujos links estão logo abaixo dos resumos correspondentes. Para ir diretamente ao aplicativo, siga para a próxima etapa. [b]Um Problema com Mapas: a Álgebra Linear e a Geometria Clássica Combinadas em uma Proposta com o GeoGebra[/b] Neste trabalho é apresentada uma atividade desenvolvida com intuito de resgatar um resultado de significativa importância em Matemática – o Teorema do Ponto Fixo – a partir de uma proposta que tem um aspecto tanto lúdico, quanto especulativo e cuja resposta, como veremos, pode ser obtida tanto com matemática de nível superior, com o recurso da Álgebra Linear, ou mesmo apoiada em conceitos básicos da geometria clássica. Entretanto, a motivação maior para a abordagem do problema apresentado é avaliar em que sentidos a geometria dinâmica pode aparecer efetivamente como diferencial na resolução de problemas e discutir o valor da argumentação e de lançamento de hipóteses no processo de Ensino em Matemática. [url]https://drive.google.com/file/d/0B16T2gXHdYAkQ0x4Qk9oRHZOeTA/view?usp=sharing[/url] [b]O Problema dos Mapas e o Teorema do Ponto Fixo[/b] O objetivo deste trabalho é discutir alguns aspectos de Teoremas de Ponto Fixo − com olhar atento para suas hipóteses e particularidades − e estreitar suas relaçõoes com outros tópicos de matemática. Em muitos casos, teoremas que envolvem pontos fixos nos garantem apenas a existência, sob certas condições, de soluções, mas não necessariamente como obtê-las. Partindo de um problema cuja solução pela Geometria Euclidiana Clássica já é conhecida, a ideia com este trabalho é apresentar a resolução pela Álgebra Linear, além de fazermos uma abordagem em que possamos discutir com mais propriedade quais são as condições que nos permitem decidir se o problema tem ou não solução. Finalmente, resgatada a essência da teoria, apresentar em que situações ela pode ser útil, seja no contexto matemático ou mesmo do cotidiano. [url]https://drive.google.com/file/d/0B16T2gXHdYAkVXZwTElzQTdUM0E/view?usp=sharing[/url]

  • 1. The Maps Problem and the Fixed Point Theorem
  • 2. Related Papers

3.1.

The Maps Problem and the Fixed Point Theorem

[color=#198f88][i]English[/i][/color][br][b]Putting up two overlapped brazilian maps with different scales, so that the smaller is entirely contained on the bigger (in any position), could we find somewhere that coincide with itself in both maps?[/b][br]The main goal of this work is to promote a proposal that can be applied at different levels and allowing the approach since of homothety`s concepts to the matrix equations resolutions or the Fixed Point Theorem and that values the student participation and effective comprehension of the content involved. Beyond that, although all procedures performed here could be made by free hand, the idea is to try show to the user as dynamic geometry may favor in this sense, since it clear, for example, the movements in the plan associated with their respective algebraic transformation.[br][br][i][color=#198f88]Português [/color][/i][br][b]Colocando-se dois mapas do Brasil, com diferentes escalas, sobrepostos de modo que o menor deles esteja inteiramente contido no maior (em qualquer posição), podemos encontrar algum ponto que coincida com ele próprio em ambos mapas?[/b][br]O objetivo deste trabalho é divulgar uma proposta que possa ser aplicada em diferentes níveis e que permite a abordagem de conceitos de homotetia a equações matriciais e que valoriza a participação do aluno, bem como a compreensão efetiva dos conteúdos envolvidos. Além disso, embora todos procedimentos pudessem ser feitos à mão livre, a ideia é tentar mostrar para o usuário como a geometria dinâmica pode favorecer neste sentido, uma vez que torna mais claro, por exemplo, as transformações no plano associadas às suas respectivas representações algébricas.
[i][color=#45818e]English[/color][/i][br]Note that nothing is said about the relative positions between the maps, besides the condition of the small one is entirely contained on the big one, that means, the orange map could be rotated relative to the first. Another important fact to note is the order in which the elements of the problem are presented: First adjust the maps according to the given conditions and then analyses whether such a point exists. In recent experiments with teachers and pre-service teachers, when asked, many reversed hypothesis and thesis, as set a common point to maps, then adjust both in positions that preserve the choice made. In this case, they used to support two princes maps with different scales and a pin.[i][color=#45818e][br][br]Português[/color][/i][br]Repare que nada é dito sobre as posições relativas entre os mapas, além da hipótese de estar um inteiramente contido sobre o outro, ou seja, eventualmente, o segundo poderia estar rotacionado em relação ao primeiro. Outro fato importante a observar é a ordem em que são apresentadas os elementos do problema: primeiro ajustar os mapas segundo as condições dadas e depois avaliar se tal ponto existe. Em recentes experiências com professores e futuros professores, quando questionados, muitos inverteram hipótese e tese, pois fixaram um ponto comum aos mapas, para depois ajustarem ambos em posições que preservassem a escolha feita. Nesse caso, usaram como apoio dois mapas de escalas distintas impressos e um alfinete.[br][br][br]
– Diego Lieban

3.2.

–

4.

Shortening routes

  • 1. Defining a plane route (Definindo uma rota aérea)

4.1.

Defining a plane route (Definindo uma rota aérea)

[i][color=#198f88]English[/color][/i][br][b]Wich is the shortest flight route between 2 cities?[/b][br]In this proposal, not concluded yet, the main idea is to leave from a real problem and developing how can it motivate the students think mathematically, in fact, in order to discuss properties that we can visualize and explore with the dynamical resource.[br][br][br][color=#198f88][i]Português[/i][/color][br][b]Como determinar a menor rota aérea entre duas cidades?[/b][br]Nesta proposta, ainda não concluída, a ideia principal é partir de um problema real que possa servir como motivação para os pensamento crítico dos alunos, no sentido de discutir propriedades que podem ser visualizadas e exploradas com recurso da geometria dinâmica.
– Diego Lieban

5.

About the author

  • 1. About the author

5.1.

About the author

[i][color=#93c47d]English[/color][/i][br]Professor at Instituto Federal do Rio Grande do Sul (IFRS) - Campus Bento Gonçalves and collaborator of Scientific Initiation Program to students awards in Mathematics Brazilian Olympiad of Public Schools (OBMEP). Graduated in Mathematics Teaching Course (2002) by the Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) with master in Mathematics (2010) by the same institution, where work as a tutor in a distance especialization course, [i]Maths, Digital Medias and Didactics[/i]. Areas of Interest: training of mathematics teachers and the use of educational technologies.[br][br][i][color=#93c47d]Português[/color][/i][br]Professor do Instituto Federal do Rio Grande do Sul (IFRS) - Campus Bento Gonçalves e colaborador do Programa de Iniciação Científica para alunos premiados na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP). Licenciado em Matemática (2002) pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) com mestrado (2010) em Matemática Pura pela mesma instituição, na qual também atuou como tutor a distância em curso de especialização em Matemática, Mídias Digitais e Didática. Área de intereresse: Tecnologias em Educação Matemática (em especial, utilização de softwares de Geometria Dinâmica) e formação de professores.
– Diego Lieban

6.

Related materials

The activities organized in this book triggered other members of the community to improve the representation presented here (following the advancement of features in the software) or to find related and nice applications for them. Examples like these are from Anthony Or (Hong Kong), Chris Cambré (Belgium) and Humberto Bortolossi (Brazil). These materials are gathered in this section.

  • 1. Unwrapping a Cylinder Cut by An Oblique Plane
  • 2. plaatsbepaling
  • 3. De kortste weg
  • 4. Decimal numbers and fractions through recursive iterations

6.1.

Unwrapping a Cylinder Cut by An Oblique Plane

Unwrapping a cylinder cut by an oblique plane in Diego Lieban's "Palm Heart Cut" problem in his presentation in the Global Gathering 2015 (http://ggbtu.be/b971211). See an empirical way of tracing this surface at [url]http://ggbtu.be/m1420803[/url].
– Anthony OR 柯志明

6.2.

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6.3.

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6.4.

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Information