[size=150][color=#ff0000]NEEDING TO BRUSH UP THE EXPONENTS[/color][/size][br]We have seen that if a quantity [math]\large{A}[/math] changes following an exponential behaviour with respect of a variable [math]\large{x}[/math], it can expressed by something like:[br][br][math]\Large{A=A(x)=A_0 \cdot f^x}[/math][br][br]where [math]\large{A_0}[/math] is the starting amount of [math]\large{A}[/math] (when [math]\large{x=0}[/math]) and [math]\large{f}[/math] if the constant factor by which [math]\large{A}[/math] changes.[br][br]We define [b]exponential function[/b] any function where the independent variable appears as exponent, such as[br] [br][math]\large{y=2^x}[/math][br][br]Before trying to handle these objects, we need to understand what it means having a power whose exponent can assume [b]any[/b] real number. To do this, let's review the meaning of some particular powers we already know.[br][br][size=150][color=#ff0000]REVIEWING POWERS WITH "SPECIAL" EXPONENTS[br][/color][/size]We all know what a power is; for example [math]\Large a^4[/math] means[br][math]\Large a^4=\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a}_{4\ times}[/math][br]Now let's see what happens when using some unusual exponents.[br] [br][size=100][color=#0000ff][b]ZERO EXPONENT[/b][/color][/size][br]Using what we know about [b][color=#ff0000]the properties of powers[/color][/b] we can obtain that [math]\Large a^0=1[/math] (if [math]\Large a[/math] is NOT zero).[br][br]As a matter of fact we have that [math]\Large a^0[/math] [b]can be considered the result of a division like[/b] [math]\Large a^3 : a^3 = a^{3-3} = a^0[/math], and this tells us that:[br][br][math]\Large a^0=a^{3-3}=a^3:a^3=\frac{a \cdot a \cdot a}{a \cdot a \cdot a} = 1[/math][br][br]where in the last step we simplified all elements both in the numerator and in the denominator: as there is the same number of elements in the numerator and in the denominator, in both parts of the fractions we cancel out everything and we are left with 1.[br][br][size=100][color=#0000ff][b]NEGATIVE EXPONENT (exponent is an [i]integer[/i] number)[/b][/color][/size][br]Reasoning in a similar way we can obtain that [math]\Large a^{-3}=\frac{1}{a^3}[/math].[br][br][b]Once more we use the property of division with like bases[/b], and we consider [math]\Large a^{-3}[/math] as the result of a division like [math]\Large a^2 : a^5 = a^{2-5} = a^{-3}[/math]. Considering the calculations we have that:[br][br][math]\Large a^{-3}=a^{2-5}=a^2:a^5=\frac{a \cdot a}{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a} = \frac{1}{a \cdot a\cdot a} = \frac{1}{a^3}[/math][br][br]When simplifying the elements, we have three elements left in the denominator, because 5 exceeds 2 by 3.[br][br]This works exactly in the same way of[br][br][math]\Large a^5:a^2=\frac{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}{a \cdot a} = a \cdot a \cdot a = a^3[/math][br][br]In this case the number of elements in the dividend exceeds the one in the divisor, so there are some elements left in the [i]numerator[/i] (i.e. the [i]upper[/i] side of the fraction). When the exponent is negative we simply have that there are more elements in the divisor, and therefore some elements remain in the [i]denominator[/i], i.e. in the [i]lower[/i] side of the fraction.[br][br]Please note that in general a negative exponent is equivalent of taking the reciprocal of the base, so[br][math]\Large \left(\frac{2}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{2}\right)^{3}[/math][br][br][size=100][color=#0000ff][b]FRACTIONARY EXPONENT (exponent is a [i]rational[/i] number)[/b][/color][/size][br]Now we will prove that [math]\Large a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}[/math].[br][br]To obtain that, [b]we must remember the definition of "[i]square root of [math]a[/math][/i]"[/b]: this is the number which, raised to the second, gives us [math]\Large a[/math]. If the raise to the second [math]\Large a^{\frac{1}{2}}[/math] we get:[br][br][math]\Large \textcolor{red}{(}a^{\frac{1}{2}}\textcolor{red}{)^2}=a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a[/math][br][br]This means that [math]\Large a^{\frac{1}{2}}[/math][b] behaves exactly as the square root of [math]a[/math], and therefore they are the same number[/b]. Obviously this works for [i]any[/i] fractionary exponent, so we have that[br][br][math]\Large a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}[/math] as [math]\Large \textcolor{red}{(}a^{\frac{1}{3}}\textcolor{red}{)^3}=a^{\frac{1}{3} \cdot 3} = a^1 = a[/math][br][br]Please note that [math]\Large a^{\frac{2}{3}}[/math] is the cube root of [math]\Large a^2[/math], as [br][br][math]\Large a^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{a^2}[/math] as [math]\Large \textcolor{red}{(}a^{\frac{2}{3}}\textcolor{red}{)^3}=a^{\frac{2}{3} \cdot 3} = a^2 [/math][br][br]In general we have that[br][br][math]\Large a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}[/math][br][br]The denominator of the exponent is the index of the root, where the numerator is the usual exponent.[br][br][size=150][color=#ff7700][b]IRRATIONAL EXPONENT (exponent is a [i]real[/i] number): ???[/b][/color][/size][br]As we want to consider [math]\Large a^x[/math] with [math]\Large x[/math] being [i]any[/i] number, we must ask ourselves what does an [i]irrational[/i] exponent means.[br][br]For example, what's the meaning of [math]\Large a^{\sqrt{2}}[/math]?[br][br]The answer is not easy, so let's help ourselves with a practical application of exponential functions. We will do it studying the behaviour of waterlily, the nice flower you can see below.[br][br][img width=230,height=172]https://gardendrama.files.wordpress.com/2012/02/attraction.jpg[/img][br][br]In the animation below we will discover that the behaviour of this plant, as supposed in the problem, can be described by an exponential function. We will draw the function giving to the exponent the values we have studied until now. After the animation we will try to go further introducing irrational exponents.

[color=#ff0000][size=150]WHAT NEXT?[/size][/color][br]In the example of waterlilies we introduced an exponential function evaluating it for: [br][list][*][b]natural exponents[/b], i.e. after a given number of weeks[/*][*][b]negative exponents[/b], which proved to reproduce the behaviour of n weeks [i]ago[/i][/*][*][b]fractionary (rational) numbers[/b], which proved to fit into the curve when evaluating the amount after a non integer number of weeks. [br][/*][/list][br][b]Yet, we haven't evaluated our function in all points were [/b][math]x[/math][b] (or [/b][math]w[/math][b], in our example) is an irrational number[/b]. For instance what will the extensions of waterlilies be after [math]\sqrt{2}[/math] weeks?[br][br]The question sounds a little bit weird, and indeed it is. [br][br]Nonetheless we will try to find an answer in next animation.

[size=150][color=#ff0000]A BRIEF PREVIEW OF LIMIT CONCEPT[/color][br]Let's summarize what we have seen:[br][list][*][b]any irrational number con be approximated as precisely as we want with a rational quantity[/b]. For instance [math]\large{\sqrt{2}\approx 1,4142}[/math][br][br][/*][*][b]as long as we have a rational number, we know how to consider it as an exponent[/b], so we get an approximation for the value we are looking for. For instance [math]\Large{2^{\sqrt{2}}\approx 2^{1,4142}=2^\frac{14142}{10000}=\sqrt[10000]{2^{14142}}}[/math] (ok, you probably may find it not very nice, but we do know how to calculate it!)[br][br][/*][*][b]to get a better approximation, we simply need to consider more decimals[br][br][/b][/*][*]so [b]we can "virtually" define [math]\large{2^{\sqrt{2}}}[/math] as the number obtained considering as many decimals of [math]\large{\sqrt{2}}[/math] as we need[/b]. [/*][/list]We will see later on during our studies that this kind of approach is called [i]a limit[/i]: we defined the value of a power with an irrational exponent as the number we obtain going [i]nearer and nearer[/i] to that irrational value (without reaching it actually, as we do not know how to calculate it). The trick is that we get nearer to it (we [i]approach it[/i], as it is said using technical terms) [b]considering rational exponents, whose power we can calculate with no difficulty[/b]. [br][br]We can represent this process of [i]approaching[/i] the irrational value using the symbol of [i]limits, [/i]which we will meet much later when studying analysis:[br][br][math]\huge \lim_{x_n\to \sqrt{2}}a^{x_n}=a^{\sqrt{2}}[/math][br][br]The preceding expression is formally expressed as follows:[br][br]"[color=#0000ff]the limit of[/color] [math]\Large \textcolor{blue}{a^{x_n}}[/math], [color=#ff0000]as[/color] [math]\Large \textcolor{red}{x_n}[/math] [color=#ff0000]approaches[/color] [math]\textcolor{red}{\sqrt{2}}[/math], [color=#0000ff]is equal to[/color] [math]\Large \textcolor{blue}{a^{\sqrt{2}}}[/math]"[br][br], which can be translated in more common words as: [br][br]"[color=#ff0000]the closer [the approximation of] [/color] [math]\Large \textcolor{red}{x_n}[/math] [color=#ff0000]gets to [/color][math]\textcolor{red}{\sqrt{2}}[/math],[color=#0000ff] the closer[/color] [math]\Large \textcolor{blue}{a^{x_n}}[/math] [color=#0000ff]gets to[/color] [math]\Large \textcolor{blue}{a^{\sqrt{2}}}[/math]"[br][br]NOTE: we used the symbol [math]\Large x_n[/math], and not simply [math]\Large x[/math], as it is intended that [math]\Large x[/math] is approaching [math]\sqrt{2}[/math] passing [i]by a discrete set of values[/i], that is not all possible values but only [i]some[/i] of them (which we can call [math]\Large x_1,\ x_2,\ x_3...[/math]) which are its rational approximations: [math]\Large 1.4[/math] then [math]\Large 1.41[/math], then [math]\Large 1.1414, 1.14142, 1.141421, 1.1414213, \hdots[/math] [br][br]We can use the same symbols describe the behaviour of the function in the left side of the graph: the greater and negative it gets the [math]\Large x[/math] (this is expressed saying that [math]\Large x[/math] [i]tends to a negative infinite quantity[/i], represented by [math]\Large -\infty[/math]), the more the power approaches to [math]0[/math].[br][br][math]\huge \lim_{x \to - \infty} 2^x = 0[/math][br][br]This is read "[i]the limit of [math]\Large 2^x[/math] when [math]\Large x[/math] approaches negative infinity is zero[/i]"[br][br][color=#ff0000]GENERAL FEATURES OF EXPONENTIAL FUNCTION [/color][math]\Large y=a^x[/math][/size][br]Let's now see the general features common to all exponential function like the one we studied in the case of waterlilies.[br][color=#0000ff][br]BASE [math]\Large \textcolor{blue}{a}[/math] [u]MUST[/u] BE GREATER THAN ZERO[/color][br]In our example the base of the power was [math]\Large 2[/math], but obviously we could have taken another number as base. The first important thing we must take into account, however, is that [b]WE CANNOT CONSIDER AN EXPONENTIAL WITH NEGATIVE OR ZERO BASE, therefore it must be [math]\Large a>0[/math][/b].[br][br]As a matter of fact, as the exponent [math]\large x[/math] wil range between [i]any[/i] real number, [b]the exponent will assume also values like [math]\large \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}[/math], etc..., which are interpreted as roots with even index[/b]. We know that such roots must have non negative radicand, so if we want to evaluate an exponential function for [i]any[/i] value of [math]x[/math] as exponent, we must exclude functions with negative bases.[br][br]We exclude also [math]\large a=0[/math], because [math]\large y=0^x[/math] would be a rather boring functions resulting always [math]\large 0[/math] (and giving us many troubles when [math]\large x=0[/math]), so we are not interested in studying it.[br][br]This limitation will be present also with logarithms, which are powers seen from a different point of view.[br][br][color=#0000ff]EXPONENTIAL FUNCTION NEVER GETS NEGATIVE[/color][br] As a direct consequence of the requirement described in previous paragraph, we have that [math]\large a^x[/math] is always a positive number, and therefore the exponential function [math]\large y=a^x[/math] NEVER gets on or below the [math]\large x[/math] axis. You can see this in next image.

[color=#0000ff]BEHAVIOUR CHANGES IF [/color][math]a>1[/math][color=#0000ff] OR [/color][math]a<1[/math][br]In the waterlilies example we condidered and exponential function with [math]a=2[/math]. Its behaviour is similar when [math]a[/math] assumes many different values, [b]but it is not always the same for any value of [/b][math]a[/math]. We see this feature in the next animation.

A functions like the exponential with base greater than [math]1[/math] is called [i][color=#38761d][b]increasing function[/b][/color][/i] ("funzione monotona crescente", in Italian), because in [i]any[/i] of its parts you have that the greater gets the [math]x[/math], the more increases the [math]y[/math] (i.e the function's result). Another example of increasing function is a line with positive angular coefficient.[br][br]A functions like the exponential with base less than [math]1[/math] is called [i][color=#ff0000][b]decreasing function[/b][/color][/i] ("funzione monotona decrescente", in Italian), because in [i]any[/i] of its parts you have that the greater gets the [math]x[/math], the more decreases the [math]y[/math] (i.e the function's result). Another example of increasing function is a line with negative angular coefficient.[br][br]Finally please note that for the exponential function taking the reciprocal of the base has the same effect of changing the sign of the exponent, that is: the same effect of evaluating the function for [math]-x[/math] instead of [math]x[/math]. For this reason two exponential functions having reciprocal bases are [b]symmetrical[/b] with respect of the [math]y[/math] axis: considering the first one for a given [math]x_1[/math] point gives the same result as considering the other one for [math]-x_1[/math] (that is the symmetrical of [math]x_1[/math] with respect of the y axis). You can verify this feature drawing point by point two such functions, like the ones used in previous animation or [math]y=3^x[/math] and [math]y=\left(\frac{1}{3}\right)^x[/math].

Prima ancora di conoscere le complesse regole della goniometria e delle trigonometria, vediamo a cosa potrà servirci saper lavorare con gli angoli e le loro proprietà. Per fare questo dobbiamo ripassare un concetto che con ogni probabilità hai già incontrato in Fisica: [b]le grandezze vettoriali[/b].[br][br]Ricordiamo che mentre una grandezza si dice "scalare" se è completamente definita da un valore numerico (ad esempio un'età, un prezzo o la massa di un oggetto), le grandezze vettoriali descrivono fenomeni più complessi, e quindi hanno bisogno di più informazioni per essere definite. Vediamo questo concetto nella breve animazione qui sotto.

Una tecnica molto importante che si utilizza lavorando con le grandezze vettoriali è [b]la scomposizione in componenti[/b]. Infatti è molto utile saper vedere una grandezza vettoriale come somma di vettori orientati in certe direzioni: scegliendo in modo opportuno queste direzioni, si può infatti descrivere la grandezza vettoriale come combinazione di fenomeni più facili da interpretare e calcolare. [br][br]Questa operazione, che è strettamente legata alla somma di vettori, è descritta nell'animazione seguente.

L'ultimo esempio mostrato nell'animazione ci permette di intuire la relazione che tutto questo ha con gli angoli e con la goniometria: poiché un vettore e le sue componenti sono inclinati l'uno rispetto alle altre [b]di un certo angolo[/b], se vogliamo sapere la lunghezza di questi vettori (cioè il loro modulo) abbiamo bisogno di conoscere come si lavora con gli angoli. [br][br]Vediamo il concetto in termini più generali qui sotto.

Vediamo ora un primo esempio in cui, dato un vettore di conosciamo il modulo (cioè la lunghezza), riusciamo a [b]calcolare il modulo (cioè la lunghezza) di una delle sue componenti[/b]. Potremo svolgere questo calcolo perché inclineremo il vettore di un angolo molto particolare, che ha proprietà che ci aiuteranno.

[size=150][color=#ff0000]DAL RISULTATO PARTICOLARE AL CONCETTO GENERALE[/color][/size][br][br]Riportiamo qui sotto la figura che abbiamo utilizzato, per poter ragionare sul risultato ottenuto.

La figura mostra come, grazie ai nostri calcoli, siamo riusciti ad ottenere la misura delle due componenti [i][b][color=#ff0000]rispetto a quella del vettore originale[/color][/b][/i]: per un vettore inclinato di 60° rispetto all'orizzontale abbiamo ottenuto che[br][list][*]la componente orizzontale è pari a [b]metà - cioè[/b] [math]\large{\textcolor{0,100,0}{\frac{1}{2}}}[/math] [b]- del vettore originale[/b][br][/*][*]la componente verticale è pari a [math]\large{\textcolor{255,127,0}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}[/math] [b]del vettore originale[/b][br][/*][/list][b]Questi due coefficienti[/b] ci permettono di capire come l'inclinazione del vettore ne "distribuisca" la lunghezza nelle due direzioni scelte, e [b]possono essere considerati delle caratteristiche dell'angolo di 60°[/b].[br][br][b][color=#0000ff]IL CASO GENERALE[br][/color][/b]Nel nostro esempio abbiamo scomposto un vettore inclinato di un certo angolo [math]\large{\alpha}[/math] rispetto al suolo nelle sue componenti orizzontale e verticale; partendo dalla misura di [math]\large{\alpha}[/math] abbiamo ottenuto a quale [b]frazione[/b] del vettore originale corrispondeva ognuna delle due componenti.[br][br][b]Passando ad un caso più generale[/b], vediamo ora cosa di questo esempio rimarrà uguale e cosa invece deve essere riformulato. [br][list=1][*]In teoria potremmo scomporre un vettore lungo direzioni qualsiasi ma di fatto vedremo che [b][color=#0000ff]lavoreremo [u]sempre[/u] con direzioni perpendicolari tra loro[/color][/b], quindi [b][color=#0000ff]le due componenti di fatto saranno, in termini puramente geometrici, i due cateti di un triangolo rettangolo, di cui il vettore originale è l'ipotenusa[/color][/b]. [/*][*]Il caso di componente "orizzontale" e verticale" è un esempio specifico: in generale le direzioni lungo le quali scomporre il vettore possono essere qualsiasi, [color=#0000ff][b]in generale[/b][/color] non [color=#0000ff][b]si parla[/b][/color] di componente "orizzontale" o "verticale" ma [b][color=#0000ff]del [/color][color=#38761d]cateto "adiacente all'angolo"[/color][color=#0000ff], cioè che lo tocca[/color][/b] (nel nostro esempio quello [color=#38761d]verde[/color])[color=#0000ff], [/color][b][color=#0000ff]e [/color][color=#ff7700]quello opposto all'angolo[/color][/b] (nel nostro esempio l'[color=#ff7700]arancione[/color]). Vedi anche l'esempio riportato sotto.[br][br][/*][/list]

[color=#ff0000]Diamo ora due prime definizioni GENERALI delle grandezze goniometriche che stiamo conoscendo.[br][/color][b][br][color=#38761d]I[/color][/b][b][color=#38761d]l [/color][/b][b]rapporto tra il cateto [/b](componente, nei nostri esempi) [b]adiacente all'angolo e l'ipotenusa [/b](il vettore originale dei nostri esempi) [color=#38761d][b]viene chiamato [/b][/color][b][color=#38761d]coseno dell'angolo[/color][/b].[br][br]Considerando il nostro primo esempio e partendo dalla relazione [math]\large{v_o = \textcolor{0,100,0}{\frac{1}{2}} v}[/math] , possiamo dire anche che [math]\large{\frac{v_o}{v} = \textcolor{0,100,0}{\frac{1}{2}} = \textcolor{0,100,0}{\cos (60°)}}[/math].[br][br][color=#ff7700][b]Il rapporto tra il cateto opposto all'angolo e l'ipotenusa Il coefficiente "arancione" è chiamato [color=#ff7700][b]seno dell'angolo[/b][/color][/b][/color].[br][br]Sempre riconsiderando il primo esempio abbiamo: [br] [math]\large{v_v = \textcolor{255,127,0}{\frac{\sqrt{3}}{2}}v \rightarrow \frac{v_v}{v} = \textcolor{255,127,0}{\frac{\sqrt{3}}{2}}= \textcolor{255,127,0}{\sin (60°)}}[/math].[br][br]Abbiamo fatto quindi la nostra prima scoperta di goniometria: [math]\large{\textcolor{0,100,0}{\cos(60°) = \frac{1}{2}}}[/math] e [math]\large{\textcolor{255,127,0}{\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}}}[/math].[br][br]I due numeri che abbiamo ottenuto si riferiscono all'angolo particolare di 60°; rivediamo quindi innanzitutto la definizione generale di seno e coseno in questa breve animazione.

[size=85]Stiamo scoprendo che un qualsiasi angolo [math]\large{\alpha}[/math], possiamo definire il seno ed il coseno di [math]\large{\alpha}[/math] costruendo sui suoi lati un triangolo [u][b]rettangolo[/b][/u], cioè scomponendo uno dei due lati nella direzione dell'altro lato ed in quella perpendicolare ad esso. [br][br]Definiamo il [color=#ff7700][b]seno dell'angolo[/b][/color] il rapporto tra il [b][color=#ff7700]cateto opposto[/color][/b][color=#ff7700][b] all'angolo[/b][/color] (quella che nell'esempio iniziale era la componente "verticale") [color=#ff7700][b]e l'ipotenusa[/b][/color] (il vettore inclinato dell'angolo [math]\large{\alpha}[/math]), mentre il [b][color=#274e13]coseno dell'angolo[/color][/b] è il rapporto tra il [b][color=#38761d]cateto adiacente all'angolo[/color] [/b](quella che nell'esempio iniziale era la componente "verticale")[b] [color=#38761d]e l'ipotenusa[/color][/b].[/size][br][br][color=#ff0000]Una osservazione molto importante è che i due cateti sono sempre minori dell'ipotenusa (nel nostro esempio, le componenti del vettore sono sempre minori... [i]o uguali[/i] al vettore originale), quindi [b]seno coseno di un angolo sono sempre due numeri inferiori o uguali a 1[/b][/color].[br][br]È evidente che se avessimo considerato un angolo molto piccolo [color=#38761d][b]la componente orizzontale[/b][/color] sarebbe stata quasi uguale al vettore originale (e quindi avremmo ottenuto un [b][color=#38761d]coseno[/color][/b] di poco inferiore ad uno), mentre la [color=#ff7700][b]componente verticale[/b][/color] sarebbe stata una frazione minima del vettore (e quindi il [color=#ff7700][b]seno[/b][/color] sarebbe stato un numero molto piccolo e vicino allo zero). Puoi visualizzare quanto detto nell'immagine sotto.

Al contrario per un angolo di poco inferiore a 90° avremo un [color=#38761d][b]coseno[/b][/color] molto piccolo ed una componente verticale quasi identica al vettore originale (e quindi un [color=#ff7700][b]seno[/b][/color] di poco inferiore ad 1).

Allo stesso modo puoi ipotizzare come saranno il seno ed il coseno degli altri angoli, in particolare di quelli mostrati nell'animazione "GLI ANGOLI E LE COMPONENTI DI UN VETTORE" vista prima.[br][br][table][tr][td][color=#ff0000][b][size=150]Seguendo questo ragionamento, puoi ipotizzare quanto vale il seno di 90°? Ed il suo coseno? Cerca di dedurre quanto valgono seno e coseno di 0°.[/size][/b][/color][/td][/tr][/table][br][table][tr][td][b][color=#ff0000]Secondo te p[size=150]er quale angolo otterremo che i due coefficienti sono uguali? [/size][/color][/b][/td][/tr][/table][br][size=150][color=#ff0000]UNA TERZA DEFINIZIONE... ED UN VECCHIO CONOSCENTE[br][/color][/size]Esiste una terza grandezza goniometrica fondamentale, che è in relazione con le prime due ma ha un suo significato ed una sua utilità distinte.[br][b][br]Definiamo tangente di un angolo [math]\large{\alpha}[/math] il rapporto tra la componente opposta all'angolo (cateto opposto) e quella adiacente (cateto adiacente).[/b]

Se riproponiamo la stessa immagine in un formato leggermente diverso, vediamo che nell'ambito della geometria analitica la tangente coincide con un'importante caratteristica della retta.

[size=150][color=#ff0000]LE FORMULE DI SOMMA[/color][/size][br]Le prime formule goniometriche che impariamo sono le formule di somma: conoscendo il seno ed il coseno di due angoli [math]\large{\alpha}[/math] e [math]\large{\beta}[/math], vogliamo usare questi valori per calcolare [math]\large{\sin(\alpha + \beta)}[/math] e [math]\large{\cos(\alpha + \beta)}[/math].[br][br]In questo paragrafo puoi trovare il ragionamento che ci permette di ottenere queste formule. Innanzitutto chiariamo subito che:[br][br][math]\large{\cos(\alpha + \beta) \Large{\textcolor{red}{\neq}} \cos \alpha + \cos \beta}[/math][br][br]La stessa cosa vale per seno e tangente: le formule che ci permettono di calcolare questi valori sono più complesse. [br][br][b][color=#ff0000]NON È SEMPLICE[/color][/b]. Ma ne vale la pena per due motivi:[br][list=1][*]è bello ed è furbo ([u]tutto sommato si tratta solo di saper guardare la figura![/u]), ed è sempre utile osservare qualcosa di intelligente![/*][*]dalle formule di somma otterremo, quasi gratuitamente, un sacco di altra roba. Quindi saremo ricompensati! ;)[/*][/list][br]Prima di iniziare, richiamiamo qui un'applicazione elementare di seno e coseno, che ci permette di ottenere i cateti di un triangolo rettangolo a partire dall'ipotenusa e da uno dei due angoli acuti. Questa applicazione verrà utilizzata in modo molto massiccio nel nostro ragionamento, quindi è necessario averla molto presente!

Fatta questa premessa, possiamo avventurarci alla scoperta delle formule goniometriche di somma.

Riepilogando quello che abbiamo trovato, abbiamo che:[br][br][math]\huge{\textcolor{red}{\sin(\alpha + \beta)} = \sin (\alpha)\cos (\beta) + \sin (\beta)\cos (\alpha)}[/math][br][br]cioè le formule di somma del [b][color=#ff0000]seno[/color][/b] sono una [b]somma[/b] di due termini, in ognuno dei quali [b]si mescolano i seni ed i coseni[/b] degli angoli interessati.[br][br][math]\huge{\textcolor{blue}{\cos(\alpha + \beta)} = \cos (\alpha)\cos (\beta) - \sin (\alpha)\sin (\beta)}[/math][br][br]cioè le formule di somma del [b][color=#0000ff]coseno[/color][/b] sono una [b]sottrazione[/b] di due termini: [b]il primo con i coseni[/b] ed il [b]secondo con i seni[/b] degli angoli interessati.[br][br]A partire da queste formule ne deriveremo molte altre.[br][br]Qui ci limitiamo ad ottenere [b]la formula di somma per la [color=#38761D]tangente[/color][/b]: dalle leggi fondamentali sappiamo che possiamo esprimere la tangente come seno su coseno, quindi abbiamo: [br][br][math]\Large{\textcolor{0,100,0}{\tan(\alpha + \beta)} = \frac{\textcolor{red}{\sin(\alpha + \beta)}}{\textcolor{blue}{\cos(\alpha + \beta)}} = \frac{\sin (\alpha)\cos (\beta) + \sin (\beta)\cos (\alpha)}{\cos (\alpha)\cos (\beta) - \sin (\alpha)\sin (\beta)}}[/math][br][br]per fare comparire delle tangenti nella formula dividiamo sia numeratore che denominatore per [math]\Large{\cos (\alpha)\cos (\beta)}[/math] ed otteniamo:[br][br][math]\Large{\textcolor{0,100,0}{\tan(\alpha + \beta)} =\frac{\frac{\sin (\alpha)\cos (\beta)}{\cos (\alpha)\cos (\beta)} + \frac{\sin (\beta)\cos (\alpha)}{\cos (\alpha)\cos (\beta)}}{\frac{\cos (\alpha)\cos (\beta)}{\cos (\alpha)\cos (\beta)} - \frac{\sin (\alpha)\sin (\beta)}{\cos (\alpha)\cos (\beta)}}}[/math][br][br]che, semplificando, ci dà la seguente formula:[br][br][math]\huge{\textcolor{0,100,0}{\tan(\alpha + \beta)} =\frac{\tan (\alpha) + \tan (\beta)}{1 - \tan (\alpha)\tan (\beta)}}[/math][br][br]La formula di somma per la tangente è meno usata di quella del seno e del coseno. Le altre formule che otterremo nel prossimo paragrafo sono invece molto più frequenti ed utilizzate.[br]

[size=150][color=#ff0000][size=200]RELAZIONI E FUNZIONI[/size][br][/color][/size]Definiamo una [color=#ff0000][b]relazione[/b][/color] tra due insiemi un qualsiasi legame tra di essi che associa ad un elemento del primo insieme uno o più elementi del secondo. Per dare un nome ad una relazione si utilizza una lettera minuscola. Facciamo un esempio.[br][br]Dati l'insieme delle lettere e quello delle parole, la relazione [b][i]p[/i][/b]: "[math]\large{x \rightarrow\ una\ parola\ che\ inizia\ con\ x}[/math]", permette di associare ad una lettera [math]x[/math] (ad esempio "c") la parola "casa", "cattedra" o altre; alla lettera "s" verranno associate parole come "stella", "studente" e così via. Se chiamiamo [math]y[/math] il risultato della relazione, cioè l'elemento associato ad [math]x[/math], possiamo descrivere la relazione scrivendo [b][i]p[/i][/b] : "[math]\large{y\ inizia\ con\ x}[/math]".

Si chiama [color=#ff0000][b]funzione[/b][/color] una relazione che ad ogni elemento del primo insieme associa [b]un solo elemento del secondo insieme[/b] (quindi se ha [b]un solo risultato[/b]). L'esempio visto sopra è una relazione ma [b]non[/b] è una funzione, perché data una lettera esistono ovviamente più parole che iniziano con quella lettera. Se invece consideriamo la relazione [b][i]i[/i][/b]:"[math]\large{y\ è\ l'iniziale\ di\ x}[/math]", mostrata qui sotto, abbiamo che ogni lettera ha una sola iniziale. La relazione [b][i]i[/i][/b] quindi è anche una funzione.

Una funzione può anche essere considerata una "relazione univoca", in quanto ad ogni elemento del primo insieme viene assegnato in modo univoco (cioè unico) l'elemento del secondo insieme. Avere una funzione, ovvero definire in maniera univoca il risultato, è particolarmente importante per le relazioni [i]matematiche[/i], dato che in genere è necessario che ogni operazione porti ad un solo risultato univocamente definito, cioè che sia lo stesso per chiunque stia applicando quell'operazione. [br][br][size=150][color=#ff0000][size=200]LE VARIABILI DI UNA FUNZIONE[/size][/color][/size][br][color=#ff0000]La [/color][math]\large{\textcolor{red}{x}}[/math], cioè l'elemento preso nel primo insieme, viene chiamata [color=#ff0000][b]variabile indipendente[/b][/color], perchè è un elemento che [color=#ff0000]varia[/color] (nell'esempio posso considerare varie parole) e può essere scelto [color=#ff0000]liberamente[/color] da chi utilizza la funzione; può anche essere considerato l'[color=#ff0000][b]input[/b][/color] che la funzione riceve ed a cui essa associa un [color=#0000ff][b]output[/b][/color], o [color=#0000ff][b]risultato[/b][/color], cioè la [math]\large{\textcolor{blue}{y}}[/math], il cui nome formale è [b][color=#0000ff]variabile dipendente[/color][/b] perché [color=#0000ff]dipende[/color] appunto dalla [math]x[/math] che abbiamo scelto in partenza: una volta scelta liberamente la [math]x[/math], la [math]y[/math] viene stabilita univocamente dalla funzione, e noi non abbiamo scelta in proposito. [br][br]Nell'esempio riportato sopra si può dire che [color=#0000ff]"s"[/color] è [color=#0000ff]l'output[/color] prodotto dall'[color=#ff0000]input "stella"[/color] secondo la funzione [b]i[/b]. [br][br]La [math]\large{\textcolor{blue}{y}}[/math] che viene trovata come risultato di una certa [math]\large{\textcolor{red}{x}}[/math] secondo una data funzione viene anche chiamata [b][color=#0000ff]immagine[/color][/b] della [math]\large{\textcolor{red}{x}}[/math] di partenza, che per contro può essere definita come [color=#ff0000][b]controimmagine[/b][/color] della [math]\large{\textcolor{blue}{y}}[/math] corrispondente. [br][br]Ad esempio [color=#0000ff]"m"[/color] è [color=#0000ff]l'immagine[/color] di [color=#ff0000]"micio"[/color] e di [color=#ff0000]"monte"[/color], che sono quindi sue [color=#ff0000]controimmagini[/color]; [color=#ff0000]"casa"[/color] è la [color=#ff0000]controimmagine[/color] dell'[color=#0000ff]output "c"[/color].[br][br]Le varie notazioni possibili per indicare le variabili di una funzione possono essere riassunte quindi nella seguente tabella:[br][br] [table] [tr][br] [td]x[/td][br] [td]y[/td][br][/tr][br] [tr][br] [td]variabile indipendente[/td][br] [td]variabile dipendente[/td][br][/tr][br] [tr][br] [td]input[/td][br] [td]output (risultato)[/td][br][/tr][br] [tr][br] [td]controimmagine[/td][br] [td]immagine[/td][br][/tr][br][/table][br]L'insieme dei valori nell'insieme di partenza per cui la funzione genera un risultato è detto [b]dominio[/b] (in Inglese: [i]domain[/i]) della funzione. L'insieme dei valori nell'insieme di destinazione che sono un risultato di qualche input (cioè che sono controimmagine di almeno una [math]\large{x}[/math] è detto codominio (in Inglese: [b]range[/b]).[br][br][size=150][color=#ff0000][size=200]FUNZIONI MATEMATICHE[/size][/color][/size][br][br]Abbiamo detto che avere una funzione, ovvero definire in maniera univoca il risultato, è particolarmente importante per le relazioni [i]matematiche[/i], cioè tra relazioni che prendono dei numeri come input ed output. Vediamo quindi qualche esempio di relazione matematica. [br]La relazione [b]f: [/b]"[math]\large{y\ è\ il\ doppio\ di\ x}[/math]" associa ad esempio al numero 3 il numero 6, a 7 associa 14 e così via. Un altro modo per descrivere questa relazione, particolarmente chiaro nel caso delle relazioni matematiche, è [math]\large{f:\ y=2x}[/math], che indica direttamente [b]l'espressione[/b] (o la [b]formula[/b], anche se stranamente questa parola non viene usato in questo ambito) che permette di calcolare il risultato [math]\large{y}[/math] partendo dall'input [math]\large{x}[/math].

Per esprimere la relazione tra un certo valore e la corrispondente immagine (cioè il risultato) fornito dalla funzione si scrive che[br] [br][math]\large{f(3)=6}[/math] [br][br]Che si legge : "f di 3 è uguale a 6", che probabilmente è il modo veloce per dire "il risultato secondo la legge [b][color=#ff0000]f d[/color][/b]ell'input [b][color=#ff0000]3 è uguale a 6[/color][/b]" - cioè quando Il [math]\large{3}[/math] viene messo "dentro" la funzione [math]\large{f}[/math] (cioè sostituito alla [math]\large{x}[/math]) e genera come risultato [math]\large{6}[/math]. Allo stesso modo possiamo scrivere [math]\large{f(15)=30}[/math]. Possiamo usare questa notazione per indicare relazioni più articolate, come [br][list][*][math]\large{f(7) \lt T}[/math] - "il risultato che si ottiene dall'input [math]\large{7}[/math] è minore di un certo numero [math]\large{T}[/math]"[/*][br][*][math]\large{f(3)=f(w)}[/math] - "il risultato dato dall'input [math]\large{3}[/math] è uguale quello ottenuto da un certo numero [math]\large{w}[/math]"[/*][/list] [br][color=#ff0000][b]IMPORTANTE[/b][/color]: È molto importante ricordare che le parentesi [b][color=#ff0000]non[/color][/b] indicano qui una moltiplicazione, ma semplicemente che [math]\large{y}[/math] si ottiene "inserendo" un valore [math]\large{x}[/math] nella funzione [math]\large{f}[/math], che restituisce appunto il risultato.[br][color=#0000ff][size=200][size=150]UNA NOTA "DI STILE"[/size][/size][/color][br][br]A differenza dei primi due esempi, che collegavano due insiemi diversi (quello delle lettere e quello delle parole), la funzione [i][b]f[/b][/i] parte e termina nello stesso insieme (quello dei numeri, ad esempio gli interi o i razionali). Si possono specificare l'insieme da cui la funzione prende i suoi input e quello in cui prende i suoi output con la notazione [math]\large{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}[/math] (ad esempio in questo caso affermiamo che la variabile indipendente (input) e quella dipendente (output) della funzione sono entrambe prese dall'insieme dei numeri reali. Nel diagramma di Venn le frecce dovrebbero quindi partire da un elemento di un insieme e terminare in un altro elemento [i]dello stesso insieme[/i], dato che sempre di numeri reali si tratta. Questa rappresentazione è più corretta anche perché i numeri che sono il doppio di qualche numero, hanno a loro volta un doppio, quindi non è possibile suddividere i numeri tra quelli che stanno in un insieme di partenza (le "metà") e quelli in un insieme di arrivo (i "doppi").[br][br][br]

Poiché questa rappresentazione è più corretta, ma rischia di essere meno chiara, ci riserveremo la licenza di utilizzare una rappresentazione a due insiemi, ove questo aiuti nella comprensione.[br][br][color=#ff0000][size=150][size=200]FUNZIONI BIUNIVOCHE[/size][/size][/color][br]La relazione [math]\large{f:y=2x}[/math]vista nell'esempio precedente è chiaramente una funzione, in quanto per ogni numero [math]\large{x}[/math] esiste una sola immagine [math]\large{y}[/math] corrispondente al suo doppio. Poiché vale anche il contrario, cioè ogni output [math]\large{y}[/math] ha una sola controimmagine [math]\large{x}[/math] corrispondente (detto in altri termini: ogni [math]\large{y}[/math] ha una sola [math]\large{x}[/math] che è la sua metà), la funzione si definisce [color=#ff0000][b]biunivoca[/b][/color]. La biunivocità è molto importante perché [b][color=#ff0000]una funzione può essere invertita solo se è biunivoca[/color] [/b](affronteremo il concetto di funzione inversa nei prossimi capitoli).[br][br]Un altro modo per dire che una funzione è biunivoca è che non ci sono due input che generano output uguale. La relazione [b][i]i[/i][/b] delle iniziali vista prima è una funzione (perché ad ogni parola corrisponde una sola iniziale), ma [b]non[/b] è una funzione biunivoca, perché non vale il viceversa (ad ogni iniziale corrispondono più parole).[br][br][color=#0000ff][b]NOTA LESSICALE[/b][/color]: In termini rigorosi quando una funzione genera per ogni input un output differente non si dice biunivoca ma [b][color=#0000ff]iniettiva[/color][/b]. [br]Si definisce poi [b][color=#0000ff]suriettiva[/color][/b] una funzione per cui [u]ogni[/u] elemento dell'insieme di destinazione è il risultato di qualche input (detto in altri termini più specifici: se ogni elemento dell'insieme di destinazione è controimmagine di un elemento dell'insieme di partenza, cioè se l'insieme di destinazione coincide con il codominio). [br][br][color=#0000ff][b]Utilizzando questa terminologia più avanzata, una funzione si dice biiettiva[/b], o [b]biunivoca[/b], quando è [b]sia iniettiva che suriettiva[/b][/color].[br]

Vediamo qui sotto alcuni esempi con una funzione matematica.

La [b]suriettività[/b] non è una condizione molto vincolante, perché se manca la si può ottenere lasciando invariata la legge della funzione e [b]cambiando solo l'insieme di destinazione[/b].[br][br]Nel nostro esempio se cambiamo l'insieme di destinazione della funzione [math]\large{g}[/math] da [math]\large{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}[/math] a [math]\large{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^+_0}}[/math], cioè prendiamo i risultati solo nell'insieme dei numeri positivi o nulli, tutti gli elementi dell'insieme di destinazione hanno una controimmagine nell'insieme di destinazione e la funzione è suriettiva.

Per questo motivo possiamo dire che la condizione più importante per la biunivocità resta la prima, cioè l'iniettività, e quindi possiamo "confonderla" con essa e dire che se ogni input genera un risultato diverso (ogni risultato è risultato di un input differente) la funzione è biunivoca.

Dato che la mancata suriettività può essere risolta in modo piuttosto semplice che non cambia la natura della funzione, possiamo dire che l[b]a condizione più importante per la biunivocità resta l'iniettività (cioè che due valori di input differenti non possano dare lo stesso risultato), e quindi possiamo "confonderla" con essa[/b] e dire che se ogni input genera un risultato diverso la funzione è biunivoca.