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Elementi sulle funzioni trascendenti

Ilic Ferretti, Sep 7, 2016

Una serie di materiali per familiarizzare meglio con le funzioni trascendenti, facendo il più possibile riferimento ad applicazioni concrete.

Funzioni esponenziali e logaritmiche
1. The exponential function
2. I primi problemi sull'andamento esponenziale (equazioni)
3. Un nuovo modello di andamento delle quantità
4. Introduzione ai logaritmi
5. Ancora problemi esponenziali (disequazioni)
6. Applicare traslazioni e simmetrie dell'andamento
7. Cambiare il periodo dell'andamento
8. Ancora sull'andamento: variazioni costanti rispetto qualsiasi intervallo
9. Avere più elementi in gioco
10. La funzione logaritmica
Basi di goniometria e trigonometria
1. Un esempio concreto: le componenti dei vettori
2. Le caratteristiche goniometriche degli angoli
3. Valori goniometrici di angoli notevoli
4. Le relazioni goniometriche fondamentali
5. La misura in Radianti
6. Il cerchio goniometrico
7. Gli archi associati
8. Visualizzatore delle grandezze goniometriche
9. La funzione seno (e coseno)
10. Esercitarsi sulla modulazione di seno e coseno
11. La funzione tangente
12. Equazioni e disequazioni goniometriche elementari
13. Combinare disequazioni goniometriche elementari
Goniometria e trigonometria avanzate
1. Le formule goniometriche di somma
2. Le formule di duplicazione e sottrazione
3. Le formule di bisezione
4. Il teorema dei seni
5. Teorema dei seni: costruttore di problemi
6. Il teorema di Carnot
Caratteristiche generali delle funzioni
1. Relazioni e funzioni: caratteristiche di base
2. La funzione inversa
3. Funzioni pari e funzioni dispari; simmetrie

Information

1.

Funzioni esponenziali e logaritmiche

La funzione esponenziale è importantissima per descrivere molti fenomeni naturali ed umani. Per studiarle a fondo è comodo introdurre il concetto di logaritmo, che è molto meno misterioso di quel che sembra...

1. The exponential function
2. I primi problemi sull'andamento esponenziale (equazioni)
3. Un nuovo modello di andamento delle quantità
4. Introduzione ai logaritmi
5. Ancora problemi esponenziali (disequazioni)
6. Applicare traslazioni e simmetrie dell'andamento
7. Cambiare il periodo dell'andamento
8. Ancora sull'andamento: variazioni costanti rispetto qualsiasi intervallo
9. Avere più elementi in gioco
10. La funzione logaritmica

1.1.

The exponential function

NEEDING TO BRUSH UP THE EXPONENTS We have seen that if a quantity

changes following an exponential behaviour with respect of a variable

, it can expressed by something like:

where

is the starting amount of

(when

) and

if the constant factor by which

changes. We define exponential function any function where the independent variable appears as exponent, such as

Before trying to handle these objects, we need to understand what it means having a power whose exponent can assume any real number. To do this, let's review the meaning of some particular powers we already know. REVIEWING POWERS WITH "SPECIAL" EXPONENTS We all know what a power is; for example

means

Now let's see what happens when using some unusual exponents. ZERO EXPONENT Using what we know about the properties of powers we can obtain that

(if

is NOT zero). As a matter of fact we have that

can be considered the result of a division like

, and this tells us that:

where in the last step we simplified all elements both in the numerator and in the denominator: as there is the same number of elements in the numerator and in the denominator, in both parts of the fractions we cancel out everything and we are left with 1. NEGATIVE EXPONENT (exponent is an integer number) Reasoning in a similar way we can obtain that

. Once more we use the property of division with like bases, and we consider

as the result of a division like

. Considering the calculations we have that:

When simplifying the elements, we have three elements left in the denominator, because 5 exceeds 2 by 3. This works exactly in the same way of

In this case the number of elements in the dividend exceeds the one in the divisor, so there are some elements left in the numerator (i.e. the upper side of the fraction). When the exponent is negative we simply have that there are more elements in the divisor, and therefore some elements remain in the denominator, i.e. in the lower side of the fraction. Please note that in general a negative exponent is equivalent of taking the reciprocal of the base, so

FRACTIONARY EXPONENT (exponent is a rational number) Now we will prove that

. To obtain that, we must remember the definition of "square root of ": this is the number which, raised to the second, gives us

. If the raise to the second

we get:

This means that

behaves exactly as the square root of , and therefore they are the same number. Obviously this works for any fractionary exponent, so we have that

as

Please note that

is the cube root of

, as

as

In general we have that

The denominator of the exponent is the index of the root, where the numerator is the usual exponent. IRRATIONAL EXPONENT (exponent is a real number): ??? As we want to consider

with

being any number, we must ask ourselves what does an irrational exponent means. For example, what's the meaning of

? The answer is not easy, so let's help ourselves with a practical application of exponential functions. We will do it studying the behaviour of waterlily, the nice flower you can see below.

In the animation below we will discover that the behaviour of this plant, as supposed in the problem, can be described by an exponential function. We will draw the function giving to the exponent the values we have studied until now. After the animation we will try to go further introducing irrational exponents.

WHAT NEXT? In the example of waterlilies we introduced an exponential function evaluating it for:

natural exponents, i.e. after a given number of weeks
negative exponents, which proved to reproduce the behaviour of n weeks ago
fractionary (rational) numbers, which proved to fit into the curve when evaluating the amount after a non integer number of weeks.

Yet, we haven't evaluated our function in all points were

(or

, in our example) is an irrational number. For instance what will the extensions of waterlilies be after

weeks? The question sounds a little bit weird, and indeed it is. Nonetheless we will try to find an answer in next animation.

A BRIEF PREVIEW OF LIMIT CONCEPT Let's summarize what we have seen:

any irrational number con be approximated as precisely as we want with a rational quantity. For instance
as long as we have a rational number, we know how to consider it as an exponent, so we get an approximation for the value we are looking for. For instance (ok, you probably may find it not very nice, but we do know how to calculate it!)
to get a better approximation, we simply need to consider more decimals
so we can "virtually" define as the number obtained considering as many decimals of as we need.

We will see later on during our studies that this kind of approach is called a limit: we defined the value of a power with an irrational exponent as the number we obtain going nearer and nearer to that irrational value (without reaching it actually, as we do not know how to calculate it). The trick is that we get nearer to it (we approach it, as it is said using technical terms) considering rational exponents, whose power we can calculate with no difficulty. We can represent this process of approaching the irrational value using the symbol of limits, which we will meet much later when studying analysis:

The preceding expression is formally expressed as follows: "the limit of

, as

approaches

, is equal to

" , which can be translated in more common words as: "the closer [the approximation of]

gets to

, the closer

gets to

" NOTE: we used the symbol

, and not simply

, as it is intended that

is approaching

passing by a discrete set of values, that is not all possible values but only some of them (which we can call

) which are its rational approximations:

then

, then

We can use the same symbols describe the behaviour of the function in the left side of the graph: the greater and negative it gets the

(this is expressed saying that

tends to a negative infinite quantity, represented by

), the more the power approaches to

.

This is read "the limit of when approaches negative infinity is zero" GENERAL FEATURES OF EXPONENTIAL FUNCTION

Let's now see the general features common to all exponential function like the one we studied in the case of waterlilies. BASE

MUST BE GREATER THAN ZERO In our example the base of the power was

, but obviously we could have taken another number as base. The first important thing we must take into account, however, is that WE CANNOT CONSIDER AN EXPONENTIAL WITH NEGATIVE OR ZERO BASE, therefore it must be . As a matter of fact, as the exponent

wil range between any real number, the exponent will assume also values like , etc..., which are interpreted as roots with even index. We know that such roots must have non negative radicand, so if we want to evaluate an exponential function for any value of

as exponent, we must exclude functions with negative bases. We exclude also

, because

would be a rather boring functions resulting always

(and giving us many troubles when

), so we are not interested in studying it. This limitation will be present also with logarithms, which are powers seen from a different point of view. EXPONENTIAL FUNCTION NEVER GETS NEGATIVE As a direct consequence of the requirement described in previous paragraph, we have that

is always a positive number, and therefore the exponential function

NEVER gets on or below the

axis. You can see this in next image.

BEHAVIOUR CHANGES IF

OR

In the waterlilies example we condidered and exponential function with

. Its behaviour is similar when

assumes many different values, but it is not always the same for any value of

. We see this feature in the next animation.

A functions like the exponential with base greater than

is called increasing function ("funzione monotona crescente", in Italian), because in any of its parts you have that the greater gets the

, the more increases the

(i.e the function's result). Another example of increasing function is a line with positive angular coefficient. A functions like the exponential with base less than

is called decreasing function ("funzione monotona decrescente", in Italian), because in any of its parts you have that the greater gets the

, the more decreases the

(i.e the function's result). Another example of increasing function is a line with negative angular coefficient. Finally please note that for the exponential function taking the reciprocal of the base has the same effect of changing the sign of the exponent, that is: the same effect of evaluating the function for

instead of

. For this reason two exponential functions having reciprocal bases are symmetrical with respect of the

axis: considering the first one for a given

point gives the same result as considering the other one for

(that is the symmetrical of

with respect of the y axis). You can verify this feature drawing point by point two such functions, like the ones used in previous animation or

and

.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10.

2.

Basi di goniometria e trigonometria

1. Un esempio concreto: le componenti dei vettori
2. Le caratteristiche goniometriche degli angoli
3. Valori goniometrici di angoli notevoli
4. Le relazioni goniometriche fondamentali
5. La misura in Radianti
6. Il cerchio goniometrico
7. Gli archi associati
8. Visualizzatore delle grandezze goniometriche
9. La funzione seno (e coseno)
10. Esercitarsi sulla modulazione di seno e coseno
11. La funzione tangente
12. Equazioni e disequazioni goniometriche elementari
13. Combinare disequazioni goniometriche elementari

2.1.

Un esempio concreto: le componenti dei vettori

Prima ancora di conoscere le complesse regole della goniometria e delle trigonometria, vediamo a cosa potrà servirci saper lavorare con gli angoli e le loro proprietà. Per fare questo dobbiamo ripassare un concetto che con ogni probabilità hai già incontrato in Fisica: le grandezze vettoriali. Ricordiamo che mentre una grandezza si dice "scalare" se è completamente definita da un valore numerico (ad esempio un'età, un prezzo o la massa di un oggetto), le grandezze vettoriali descrivono fenomeni più complessi, e quindi hanno bisogno di più informazioni per essere definite. Vediamo questo concetto nella breve animazione qui sotto.

Una tecnica molto importante che si utilizza lavorando con le grandezze vettoriali è la scomposizione in componenti. Infatti è molto utile saper vedere una grandezza vettoriale come somma di vettori orientati in certe direzioni: scegliendo in modo opportuno queste direzioni, si può infatti descrivere la grandezza vettoriale come combinazione di fenomeni più facili da interpretare e calcolare. Questa operazione, che è strettamente legata alla somma di vettori, è descritta nell'animazione seguente.

L'ultimo esempio mostrato nell'animazione ci permette di intuire la relazione che tutto questo ha con gli angoli e con la goniometria: poiché un vettore e le sue componenti sono inclinati l'uno rispetto alle altre di un certo angolo, se vogliamo sapere la lunghezza di questi vettori (cioè il loro modulo) abbiamo bisogno di conoscere come si lavora con gli angoli. Vediamo il concetto in termini più generali qui sotto.

Vediamo ora un primo esempio in cui, dato un vettore di conosciamo il modulo (cioè la lunghezza), riusciamo a calcolare il modulo (cioè la lunghezza) di una delle sue componenti. Potremo svolgere questo calcolo perché inclineremo il vettore di un angolo molto particolare, che ha proprietà che ci aiuteranno.

DAL RISULTATO PARTICOLARE AL CONCETTO GENERALE Riportiamo qui sotto la figura che abbiamo utilizzato, per poter ragionare sul risultato ottenuto.

La figura mostra come, grazie ai nostri calcoli, siamo riusciti ad ottenere la misura delle due componenti rispetto a quella del vettore originale: per un vettore inclinato di 60° rispetto all'orizzontale abbiamo ottenuto che

la componente orizzontale è pari a metà - cioè - del vettore originale
la componente verticale è pari a del vettore originale

Questi due coefficienti ci permettono di capire come l'inclinazione del vettore ne "distribuisca" la lunghezza nelle due direzioni scelte, e possono essere considerati delle caratteristiche dell'angolo di 60°. IL CASO GENERALE Nel nostro esempio abbiamo scomposto un vettore inclinato di un certo angolo

rispetto al suolo nelle sue componenti orizzontale e verticale; partendo dalla misura di

abbiamo ottenuto a quale frazione del vettore originale corrispondeva ognuna delle due componenti. Passando ad un caso più generale, vediamo ora cosa di questo esempio rimarrà uguale e cosa invece deve essere riformulato.

In teoria potremmo scomporre un vettore lungo direzioni qualsiasi ma di fatto vedremo che lavoreremo sempre con direzioni perpendicolari tra loro, quindi le due componenti di fatto saranno, in termini puramente geometrici, i due cateti di un triangolo rettangolo, di cui il vettore originale è l'ipotenusa.
Il caso di componente "orizzontale" e verticale" è un esempio specifico: in generale le direzioni lungo le quali scomporre il vettore possono essere qualsiasi, in generale non si parla di componente "orizzontale" o "verticale" ma del cateto "adiacente all'angolo", cioè che lo tocca (nel nostro esempio quello verde), e quello opposto all'angolo (nel nostro esempio l'arancione). Vedi anche l'esempio riportato sotto.

Il piano inclinato è un altro esempio in cui, data la forza peso dell'oggetto, è utile capire quanto misura la componente parallela al piano, che fa scivolare l'oggetto lungo il piano, e quella perpendicolare, che ostacola il moto a causa dell'attrito tra l'oggetto stesso ed il piano. Le due componenti non sono né orizzontale né verticale, ma come nel primo esempio esse formano un triangolo rettangolo di cui la forza peso è l'ipotenusa, una componente è il cateto opposto all'angolo e l'altra è quello adiacente ad esso. La geometria del problema è quindi identica.

Diamo ora due prime definizioni GENERALI delle grandezze goniometriche che stiamo conoscendo. Il rapporto tra il cateto (componente, nei nostri esempi) adiacente all'angolo e l'ipotenusa (il vettore originale dei nostri esempi) viene chiamato coseno dell'angolo. Considerando il nostro primo esempio e partendo dalla relazione

, possiamo dire anche che

. Il rapporto tra il cateto opposto all'angolo e l'ipotenusa Il coefficiente "arancione" è chiamato seno dell'angolo. Sempre riconsiderando il primo esempio abbiamo:

. Abbiamo fatto quindi la nostra prima scoperta di goniometria:

e

. I due numeri che abbiamo ottenuto si riferiscono all'angolo particolare di 60°; rivediamo quindi innanzitutto la definizione generale di seno e coseno in questa breve animazione.

Stiamo scoprendo che un qualsiasi angolo

, possiamo definire il seno ed il coseno di

costruendo sui suoi lati un triangolo rettangolo, cioè scomponendo uno dei due lati nella direzione dell'altro lato ed in quella perpendicolare ad esso. Definiamo il seno dell'angolo il rapporto tra il cateto opposto all'angolo (quella che nell'esempio iniziale era la componente "verticale") e l'ipotenusa (il vettore inclinato dell'angolo

), mentre il coseno dell'angolo è il rapporto tra il cateto adiacente all'angolo (quella che nell'esempio iniziale era la componente "verticale") e l'ipotenusa. Una osservazione molto importante è che i due cateti sono sempre minori dell'ipotenusa (nel nostro esempio, le componenti del vettore sono sempre minori... o uguali al vettore originale), quindi seno coseno di un angolo sono sempre due numeri inferiori o uguali a 1. È evidente che se avessimo considerato un angolo molto piccolo la componente orizzontale sarebbe stata quasi uguale al vettore originale (e quindi avremmo ottenuto un coseno di poco inferiore ad uno), mentre la componente verticale sarebbe stata una frazione minima del vettore (e quindi il seno sarebbe stato un numero molto piccolo e vicino allo zero). Puoi visualizzare quanto detto nell'immagine sotto.

Al contrario per un angolo di poco inferiore a 90° avremo un coseno molto piccolo ed una componente verticale quasi identica al vettore originale (e quindi un seno di poco inferiore ad 1).

Allo stesso modo puoi ipotizzare come saranno il seno ed il coseno degli altri angoli, in particolare di quelli mostrati nell'animazione "GLI ANGOLI E LE COMPONENTI DI UN VETTORE" vista prima.

Seguendo questo ragionamento, puoi ipotizzare quanto vale il seno di 90°? Ed il suo coseno? Cerca di dedurre quanto valgono seno e coseno di 0°.

Secondo te per quale angolo otterremo che i due coefficienti sono uguali?

UNA TERZA DEFINIZIONE... ED UN VECCHIO CONOSCENTE Esiste una terza grandezza goniometrica fondamentale, che è in relazione con le prime due ma ha un suo significato ed una sua utilità distinte. Definiamo tangente di un angolo il rapporto tra la componente opposta all'angolo (cateto opposto) e quella adiacente (cateto adiacente).

Utilizzando la stessa costruzione introdotta per il seno ed il coseno, definiamo la tangente di un angolo come il rapporto tra il cateto opposto all'angolo ed il cateto adiacente all'angolo.

Se riproponiamo la stessa immagine in un formato leggermente diverso, vediamo che nell'ambito della geometria analitica la tangente coincide con un'importante caratteristica della retta.

Visualizzando geometricamente la definizione di coefficiente angolare ci accorgiamo che questo valore coincide con la tangente dell'angolo che la retta forma con l'asse delle

(più esattamente con il semiasse positivo). Quindi l'angolo

in questo caso sarà quell'angolo che ha tangente uguale a 2 - impareremo ad ottenere questo valore grazie alla calcolatrice.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

2.11.

2.12.

2.13.

3.

Goniometria e trigonometria avanzate

In questo capitolo introduciamo le formule goniometriche, che servono per calcolare le caratteristiche di combinazioni di angoli partendo da quelle degli angoli di partenza, e quelle trigonometriche, che permettono di risolvere triangoli complessi (in generali quelli che NON hanno un angolo di 90°). Questo ci permette di risolvere equazioni e disequazioni goniometriche complesse e di affrontare problemi di geometria più articolati.

1. Le formule goniometriche di somma
2. Le formule di duplicazione e sottrazione
3. Le formule di bisezione
4. Il teorema dei seni
5. Teorema dei seni: costruttore di problemi
6. Il teorema di Carnot

3.1.

Le formule goniometriche di somma

LE FORMULE DI SOMMA Le prime formule goniometriche che impariamo sono le formule di somma: conoscendo il seno ed il coseno di due angoli

e

, vogliamo usare questi valori per calcolare

e

. In questo paragrafo puoi trovare il ragionamento che ci permette di ottenere queste formule. Innanzitutto chiariamo subito che:

La stessa cosa vale per seno e tangente: le formule che ci permettono di calcolare questi valori sono più complesse. NON È SEMPLICE. Ma ne vale la pena per due motivi:

è bello ed è furbo (tutto sommato si tratta solo di saper guardare la figura!), ed è sempre utile osservare qualcosa di intelligente!
dalle formule di somma otterremo, quasi gratuitamente, un sacco di altra roba. Quindi saremo ricompensati! ;)

Prima di iniziare, richiamiamo qui un'applicazione elementare di seno e coseno, che ci permette di ottenere i cateti di un triangolo rettangolo a partire dall'ipotenusa e da uno dei due angoli acuti. Questa applicazione verrà utilizzata in modo molto massiccio nel nostro ragionamento, quindi è necessario averla molto presente!

Fatta questa premessa, possiamo avventurarci alla scoperta delle formule goniometriche di somma.

Riepilogando quello che abbiamo trovato, abbiamo che:

cioè le formule di somma del seno sono una somma di due termini, in ognuno dei quali si mescolano i seni ed i coseni degli angoli interessati.

cioè le formule di somma del coseno sono una sottrazione di due termini: il primo con i coseni ed il secondo con i seni degli angoli interessati. A partire da queste formule ne deriveremo molte altre. Qui ci limitiamo ad ottenere la formula di somma per la tangente: dalle leggi fondamentali sappiamo che possiamo esprimere la tangente come seno su coseno, quindi abbiamo:

per fare comparire delle tangenti nella formula dividiamo sia numeratore che denominatore per

ed otteniamo:

che, semplificando, ci dà la seguente formula:

La formula di somma per la tangente è meno usata di quella del seno e del coseno. Le altre formule che otterremo nel prossimo paragrafo sono invece molto più frequenti ed utilizzate.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

4.

Caratteristiche generali delle funzioni

Iniziamo a definire e studiare alcune caratteristiche delle funzioni, che servono a distinguerle, classificarle e capire meglio come sono fatte.

1. Relazioni e funzioni: caratteristiche di base
2. La funzione inversa
3. Funzioni pari e funzioni dispari; simmetrie

4.1.

Relazioni e funzioni: caratteristiche di base

RELAZIONI E FUNZIONI Definiamo una relazione tra due insiemi un qualsiasi legame tra di essi che associa ad un elemento del primo insieme uno o più elementi del secondo. Per dare un nome ad una relazione si utilizza una lettera minuscola. Facciamo un esempio. Dati l'insieme delle lettere e quello delle parole, la relazione p: "

", permette di associare ad una lettera

(ad esempio "c") la parola "casa", "cattedra" o altre; alla lettera "s" verranno associate parole come "stella", "studente" e così via. Se chiamiamo

il risultato della relazione, cioè l'elemento associato ad

, possiamo descrivere la relazione scrivendo p : "

".

Si chiama funzione una relazione che ad ogni elemento del primo insieme associa un solo elemento del secondo insieme (quindi se ha un solo risultato). L'esempio visto sopra è una relazione ma non è una funzione, perché data una lettera esistono ovviamente più parole che iniziano con quella lettera. Se invece consideriamo la relazione i:"

", mostrata qui sotto, abbiamo che ogni lettera ha una sola iniziale. La relazione i quindi è anche una funzione.

Una funzione può anche essere considerata una "relazione univoca", in quanto ad ogni elemento del primo insieme viene assegnato in modo univoco (cioè unico) l'elemento del secondo insieme. Avere una funzione, ovvero definire in maniera univoca il risultato, è particolarmente importante per le relazioni matematiche, dato che in genere è necessario che ogni operazione porti ad un solo risultato univocamente definito, cioè che sia lo stesso per chiunque stia applicando quell'operazione. LE VARIABILI DI UNA FUNZIONE La

, cioè l'elemento preso nel primo insieme, viene chiamata variabile indipendente, perchè è un elemento che varia (nell'esempio posso considerare varie parole) e può essere scelto liberamente da chi utilizza la funzione; può anche essere considerato l'input che la funzione riceve ed a cui essa associa un output, o risultato, cioè la

, il cui nome formale è variabile dipendente perché dipende appunto dalla

che abbiamo scelto in partenza: una volta scelta liberamente la

, la

viene stabilita univocamente dalla funzione, e noi non abbiamo scelta in proposito. Nell'esempio riportato sopra si può dire che "s" è l'output prodotto dall'input "stella" secondo la funzione i. La

che viene trovata come risultato di una certa

secondo una data funzione viene anche chiamata immagine della

di partenza, che per contro può essere definita come controimmagine della

corrispondente. Ad esempio "m" è l'immagine di "micio" e di "monte", che sono quindi sue controimmagini; "casa" è la controimmagine dell'output "c". Le varie notazioni possibili per indicare le variabili di una funzione possono essere riassunte quindi nella seguente tabella:

x	y
variabile indipendente	variabile dipendente
input	output (risultato)
controimmagine	immagine

L'insieme dei valori nell'insieme di partenza per cui la funzione genera un risultato è detto dominio (in Inglese: domain) della funzione. L'insieme dei valori nell'insieme di destinazione che sono un risultato di qualche input (cioè che sono controimmagine di almeno una

è detto codominio (in Inglese: range). FUNZIONI MATEMATICHE Abbiamo detto che avere una funzione, ovvero definire in maniera univoca il risultato, è particolarmente importante per le relazioni matematiche, cioè tra relazioni che prendono dei numeri come input ed output. Vediamo quindi qualche esempio di relazione matematica. La relazione f: "

" associa ad esempio al numero 3 il numero 6, a 7 associa 14 e così via. Un altro modo per descrivere questa relazione, particolarmente chiaro nel caso delle relazioni matematiche, è

, che indica direttamente l'espressione (o la formula, anche se stranamente questa parola non viene usato in questo ambito) che permette di calcolare il risultato

partendo dall'input

.

Per esprimere la relazione tra un certo valore e la corrispondente immagine (cioè il risultato) fornito dalla funzione si scrive che

Che si legge : "f di 3 è uguale a 6", che probabilmente è il modo veloce per dire "il risultato secondo la legge f dell'input 3 è uguale a 6" - cioè quando Il

viene messo "dentro" la funzione

(cioè sostituito alla

) e genera come risultato

. Allo stesso modo possiamo scrivere

. Possiamo usare questa notazione per indicare relazioni più articolate, come

- "il risultato che si ottiene dall'input è minore di un certo numero "
- "il risultato dato dall'input è uguale quello ottenuto da un certo numero "

IMPORTANTE: È molto importante ricordare che le parentesi non indicano qui una moltiplicazione, ma semplicemente che

si ottiene "inserendo" un valore

nella funzione

, che restituisce appunto il risultato. UNA NOTA "DI STILE" A differenza dei primi due esempi, che collegavano due insiemi diversi (quello delle lettere e quello delle parole), la funzione f parte e termina nello stesso insieme (quello dei numeri, ad esempio gli interi o i razionali). Si possono specificare l'insieme da cui la funzione prende i suoi input e quello in cui prende i suoi output con la notazione

(ad esempio in questo caso affermiamo che la variabile indipendente (input) e quella dipendente (output) della funzione sono entrambe prese dall'insieme dei numeri reali. Nel diagramma di Venn le frecce dovrebbero quindi partire da un elemento di un insieme e terminare in un altro elemento dello stesso insieme, dato che sempre di numeri reali si tratta. Questa rappresentazione è più corretta anche perché i numeri che sono il doppio di qualche numero, hanno a loro volta un doppio, quindi non è possibile suddividere i numeri tra quelli che stanno in un insieme di partenza (le "metà") e quelli in un insieme di arrivo (i "doppi").

Poiché questa rappresentazione è più corretta, ma rischia di essere meno chiara, ci riserveremo la licenza di utilizzare una rappresentazione a due insiemi, ove questo aiuti nella comprensione. FUNZIONI BIUNIVOCHE La relazione

vista nell'esempio precedente è chiaramente una funzione, in quanto per ogni numero

esiste una sola immagine

corrispondente al suo doppio. Poiché vale anche il contrario, cioè ogni output

ha una sola controimmagine

corrispondente (detto in altri termini: ogni

ha una sola

che è la sua metà), la funzione si definisce biunivoca. La biunivocità è molto importante perché una funzione può essere invertita solo se è biunivoca (affronteremo il concetto di funzione inversa nei prossimi capitoli). Un altro modo per dire che una funzione è biunivoca è che non ci sono due input che generano output uguale. La relazione i delle iniziali vista prima è una funzione (perché ad ogni parola corrisponde una sola iniziale), ma non è una funzione biunivoca, perché non vale il viceversa (ad ogni iniziale corrispondono più parole). NOTA LESSICALE: In termini rigorosi quando una funzione genera per ogni input un output differente non si dice biunivoca ma iniettiva. Si definisce poi suriettiva una funzione per cui ogni elemento dell'insieme di destinazione è il risultato di qualche input (detto in altri termini più specifici: se ogni elemento dell'insieme di destinazione è controimmagine di un elemento dell'insieme di partenza, cioè se l'insieme di destinazione coincide con il codominio). Utilizzando questa terminologia più avanzata, una funzione si dice biiettiva, o biunivoca, quando è sia iniettiva che suriettiva.

La relazione nella figura è una funzione, perché ad ogni studente della classe 3A corrisponde una unica città di nascita. Però non è iniettiva (ci sono più studenti che danno come "risultato" la stessa città di nascita) e neppure suriettiva (esistono città dove non è nato nessuno di 3A). Quindi la funzione non è biunivoca.

Vediamo qui sotto alcuni esempi con una funzione matematica.

La relazione matematica nella figura è una funzione, perché ogni numero ha un solo risultato se lo si eleva alla quarta. Però non è iniettiva (un numero ed il suo opposto danno lo stesso risultato) e neppure suriettiva (i numeri negativi non sono la quarta potenza di nessun numero). Quindi la funzione non è biunivoca.

La suriettività non è una condizione molto vincolante, perché se manca la si può ottenere lasciando invariata la legge della funzione e cambiando solo l'insieme di destinazione. Nel nostro esempio se cambiamo l'insieme di destinazione della funzione

da

a

, cioè prendiamo i risultati solo nell'insieme dei numeri positivi o nulli, tutti gli elementi dell'insieme di destinazione hanno una controimmagine nell'insieme di destinazione e la funzione è suriettiva.

Se modifichiamo la funzione

, ed in particolare ridefiniamo il suo insieme di destinazione come i soli numeri reali positivi, cioè

, la rendiamo suriettiva, perché ogni elemento dell'insieme di destinazione è risultato di [almeno] un elemento dell'insieme di partenza. Continua però a non essere iniettiva, quindi in definitiva non è biunivoca.

Per questo motivo possiamo dire che la condizione più importante per la biunivocità resta la prima, cioè l'iniettività, e quindi possiamo "confonderla" con essa e dire che se ogni input genera un risultato diverso (ogni risultato è risultato di un input differente) la funzione è biunivoca.

In modo simile possiamo rendere suriettiva la prima funzione che abbiamo visto considerando come insieme di destinazione quello composto dalle sole città dell'Italia continentale ed escludendo le isole.

Dato che la mancata suriettività può essere risolta in modo piuttosto semplice che non cambia la natura della funzione, possiamo dire che la condizione più importante per la biunivocità resta l'iniettività (cioè che due valori di input differenti non possano dare lo stesso risultato), e quindi possiamo "confonderla" con essa e dire che se ogni input genera un risultato diverso la funzione è biunivoca.

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