Geometria Analitica
Colección de ejercicios de Geometría Analítica
Table of Contents
- Algebra y Geometria Analitica
- Sistemi lineari
- Parabola per 3 punti - Risoluzione analitica e grafico
- Equazioni / Disequazioni 2° grado e parabole - Lezione+Esplorazione+Pratica
- Teorema di Pick
- Trasformaciones
- Matrici e trasformazioni lineari
- Conicas
- Costruzione unitaria di ellisse, iperbole e circonferenza
- Ellisse come inviluppo - Metodo della corrispondenza
Sistemi lineari
Risolvi il sistema lineare assegnato, quindi verifica la soluzione ottenuta.[br][br](Puoi fare uno Zoom avanti o indietro per esaminare il grafico in dettaglio)
Pronti, partenza, pratica!
Perché un sistema di questo tipo si dice [i]lineare[/i] ?
Quali condizioni ti consentono di stabilire [i]a priori[/i] se un sistema è [i]determinato / indeterminato / impossibile[/i]?
Scrivi le equazioni di un sistema determinato, uno indeterminato e uno impossibile.
Matrici e trasformazioni lineari
Seleziona un oggetto da trasformare (punto, retta, circonferenza, funzione, quadrato di lato unitario), quindi seleziona una trasformazione lineare.[br][br]Puoi esplorare le trasformazioni trascinando gli oggetti iniziali non vincolati a una definizione, che sono visualizzati in verde.[br]Gli oggetti trasformati sono visualizzati in rosso, ed essendo dipendenti dagli oggetti iniziali non possono essere trascinati.[br][br]Hai a disposizione alcune [color=#2980b9][i]trasformazioni predefinite[/i][/color]: le [color=#2980b9][i]simmetrie [/i][/color]rispetto agli assi cartesiani, gli [color=#2980b9][i]stiramenti[/i][/color], le [color=#2980b9][i]omotetie [/i][/color]e le [color=#2980b9][i]rotazioni[/i][/color].[br][br]In alternativa puoi selezionare una trasformazione [color=#2980b9][i]personalizzata[/i][/color], e definire la matrice della trasformazione [math]T=\begin{bmatrix} t_{11} & t_{12} \\ t_{21} & t_{22} \end{bmatrix} [/math] utilizzando gli slider visualizzati.
Esplora...
... come si fa?
Puoi utilizzare il calcolo matriciale per calcolare le coordinate dei punti trasformati di alcuni punti dati secondo una certa trasformazione individuata da una matrice [math]T[/math].[br][br]Se i punti assegnati hanno coordinate [math]\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right)[/math] e [math]\left(x_3,y_3\right)[/math], la matrice delle loro coordinate sarà [math]M=\begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{bmatrix} [/math], e la matrice delle coordinate dei punti trasformati sarà [math]M'=T\cdot M[/math].
... ora mettiti alla prova
Nell'app qui sopra, considera il quadrato unitario. Se consideriamo le coordinate dei suoi vertici in senso antiorario a partire dall'origine, possiamo costruire la matrice delle coordinate dei vertici: [math]M=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1& 1 \end{bmatrix} [/math].[br][br]Ora seleziona una trasformazione [i]Personalizzata[/i], e poni uguale a 2 i due elementi della diagonale principale della matrice della trasformazione [math]T[/math], e uguale a 0 i due elementi della diagonale secondaria.[br]Che trasformazione hai ottenuto?[br]Confronta i valori dell'area del quadrato unitario e del quadrato trasformato.[br][br]E se avessi posto la matrice della trasformazione uguale a [math]T=\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} [/math], quale sarebbe stata l'area della figura trasformata?[br][br]Verifica la tua congettura calcolando le coordinate dei vertici della figura trasformata e determinandone l'area.[br][br]
Manca una trasformazione?
Nell'elenco delle trasformazioni disponibili nell'app manca la [i]simmetria centrale[/i] di centro [math]O[/math].[br]Riesci a ottenere questa trasformazione utilizzando le opzioni disponibili?[br]Spiega la tua risposta in dettaglio.
Costruzione unitaria di ellisse, iperbole e circonferenza
Posiziona i fuochi[color=#9900ff] [i]F[/i][sub]1[/sub][/color]ed [color=#9900ff][i]F[/i][sub]2[/sub][/color] che determinano l'asse focale della conica da generare, imposta lo slider [color=#1551b5][i]asseM[/i][/color] che è la lunghezza dell'[color=#1e84cc][i]asse maggiore[/i][/color] della conica, quindi muovi il punto [i][color=#6aa84f]P[/color][/i] lungo la circonferenza per visualizzare il luogo geometrico.[br][br]La costruzione geometrica del luogo è la seguente:[br][list][*]Crea i due fuochi, [color=#9900ff][i]F[sub]1[/sub][/i][/color] ed [i][color=#9900ff]F[sub]2[/sub][/color][/i][br][/*][*]Traccia la circonferenza con centro in [color=#9900ff][i]F[/i][sub]1[/sub][/color] e [color=#1e84cc]raggio [i]r[/i] = [i]AsseM[/i][/color][/*][*]Preso un punto [color=#6aa84f][i]P[/i][/color] su di essa, traccia l’asse del segmento [i]P[/i][i]F[/i][sub]2[/sub][/*][*]La retta [i]P[/i][color=#ff0000][color=#000000][i]F[/i][/color][sub][color=#000000]1[/color] [/sub][/color]interseca l'asse nei punti [color=#1e84cc][i]L[/i][/color] della conica[/*][/list][br]Il punto [color=#0000ff][i]P[/i][/color], muovendosi sulla circonferenza, descrive il luogo dei punti[color=#1e84cc] [i]L[/i][/color], che è:[br][br]- un'[i]ellisse[/i] se [color=#9900ff][i]F[/i][sub]2[/sub][/color] è [i]interno [/i]alla circonferenza [i] distanza focale[/i] < [i]lunghezza asse[/i] → [i]e[/i] < 1[br][br]- un'[i]iperbole[/i] se [color=#9900ff][i]F[/i][sub]2[/sub][/color] è [i]esterno [/i]alla circonferenza [i]distanza focale[/i] > [i]lunghezza asse[/i] → [i]e[/i] > 1[br][br]- una[i] circonferenza[/i] se [color=#9900ff][i]F[/i][sub]1[/sub] ≡[i]F[/i][sub]2[/sub][/color] [i]distanza focale[/i] = 0 → [i]e[/i] = 0
Esplorazione del luogo
Dopo avere visualizzato la costruzione del luogo, disegna il triangolo [i]PLF[sub]2[/sub][/i] e rispondi alle seguenti domande.[br]
Che tipo di triangolo è [i]PLF[sub]2[/sub][/i] ?[br]Spiega.[br]
Scrivi la definizione canonica della conica visualizzata come luogo geometrico.
Utilizza le proprietà del triangolo [i]PLF[sub]2[/sub][/i] per dimostrare che il grafico ottenuto è proprio quello della conica.