analisi numerica - zeri
1. Esercizio 01
1. Metodo di Newton Raphson per l'equazione arcsen(x)+2x-1=0
2. Metodo delle secanti per l'equazione arcsen(x)+2x-1=0
2. Esercizio 02
1. Metodo di Newton Raphson
2. Metodo delle secanti
3. Metodo di punto fisso
3. Esercizio 03
1. Funzione (ex.03)
2. Metodo di Newton Raphson (ex.03)
3. Metodo di Newton Raphson (ex.03b)
4. Metodo delle secanti (ex.03)
5. Metodo delle secanti (ex.03b)
6. Metodo di punto fisso (ex.03)
4. Esercizio 04
1. Metodo di Newton Raphson (ex.04)
2. Metodo delle secanti (ex.04)
3. Metodo di punto fisso (ex.04)
5. Esercizio 05
1. Metodo di Newton Raphson (ex.05)
2. Metodo di Newton Raphson (ex.05b)
3. Metodo delle secanti (ex.05)
4. Metodo delle secanti (ex.05b)
5. Metodo di punto fisso (ex.05)
6. Esercizio 06
1. Metodo di Newton Raphson (ex.06)
2. Metodo delle secanti (ex.06)
3. Metodo di punto fisso (ex.06)

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analisi numerica - zeri

Lucia Rapella, Jan 7, 2015

Raccolta degli esempi di applicazione dei metodi approssimati per la ricerca degli zeri

Esercizio 01
1. Metodo di Newton Raphson per l'equazione arcsen(x)+2x-1=0
2. Metodo delle secanti per l'equazione arcsen(x)+2x-1=0
Esercizio 02
1. Metodo di Newton Raphson
2. Metodo delle secanti
3. Metodo di punto fisso
Esercizio 03
1. Funzione (ex.03)
2. Metodo di Newton Raphson (ex.03)
3. Metodo di Newton Raphson (ex.03b)
4. Metodo delle secanti (ex.03)
5. Metodo delle secanti (ex.03b)
6. Metodo di punto fisso (ex.03)
Esercizio 04
1. Metodo di Newton Raphson (ex.04)
2. Metodo delle secanti (ex.04)
3. Metodo di punto fisso (ex.04)
Esercizio 05
1. Metodo di Newton Raphson (ex.05)
2. Metodo di Newton Raphson (ex.05b)
3. Metodo delle secanti (ex.05)
4. Metodo delle secanti (ex.05b)
5. Metodo di punto fisso (ex.05)
Esercizio 06
1. Metodo di Newton Raphson (ex.06)
2. Metodo delle secanti (ex.06)
3. Metodo di punto fisso (ex.06)

Esercizio 01

Zero della equazione arcsen(x)+2x-1=0

1. Metodo di Newton Raphson per l'equazione arcsen(x)+2x-1=0
2. Metodo delle secanti per l'equazione arcsen(x)+2x-1=0

Metodo di Newton Raphson per l'equazione arcsen(x)+2x-1=0

Metodo di Newton Raphson per l'equazione arcsen(x)+2x-1=0 Nel grafico si visualizzano tre passi dell'iterazione che parte dal punto [math]x_0[/math], in cui si calcola la tangente. Tale tangente serve a determinare il punto [math]x_1[/math] migliore approssimazione dello zero. Si costruisce la tangente in [math]x_1[/math] per determinare il punto [math]x_2[/math].

Muovi il punto [math]x_0[/math] nell'intervallo [0,1]. Nota che più vicino è [math]x_0[/math] allo zero dell'equazione, più veloce sarà la convergenza.

1.2.

2.

Esercizio 02

Zeri dell'equazione [math]\sqrt{x}-e^{-x}=0[/math]

1. Metodo di Newton Raphson
2. Metodo delle secanti
3. Metodo di punto fisso

2.1.

Metodo di Newton Raphson

Metodo di Newton Raphson per l'equazione [math]\sqrt{x}-e^{-x}=0[/math] Nel grafico si visualizzano tre passi dell'iterazione che parte dal punto [math]x_0[/math], in cui si calcola la tangente. Tale tangente serve a determinare il punto [math]x_1[/math] migliore approssimazione dello zero. Si costruisce la tangente in [math]x_1[/math] per determinare il punto [math]x_2[/math]. La formula iterativa è [math]x_1=x_0-\frac{\sqrt{x_0}-e^{-x_0}}{\frac{1}{2 \sqrt{x_0}} +e^{-x_0}}[/math]

Muovi il punto [math]x_0 [/math] nell'intervallo [0,1]. Avvicinando [math]x_0 [/math] allo zero dell'equazione la convergenza sarà più veloce.

2.2.

2.3.

3.

Esercizio 03

Ricerca degli zeri per l'equazione [math]x^4+x^3-x^2-3=0[/math]

3.1.

Funzione (ex.03)

La funzione [math]y=x^4+x^3-x^2-3[/math] associata all'equazione[math]x^4+x^3-x^2-3=0[/math] di cui si vogliono calcolare gli zeri. Non è possibile trovarli per via algebrica, pertanto si ricorre a metodi di approssimazione. Nel grafico sono stati individuati gli intervalli in cui cadono i due zeri.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

4.

Esercizio 04

Zeri dell'equazione [math]cos(x) - x^2=0[/math]

1. Metodo di Newton Raphson (ex.04)
2. Metodo delle secanti (ex.04)
3. Metodo di punto fisso (ex.04)

4.1.

Metodo di Newton Raphson (ex.04)

Metodo di Newton Raphson per l'equazione [math]cos(x)-x^2=0[/math] Nel grafico si visualizzano tre passi dell'iterazione che parte dal punto [math]x_0[/math], in cui si calcola la tangente. Tale tangente serve a determinare il punto [math]x_1[/math] migliore approssimazione dello zero. Si costruisce la tangente in [math] x_1[/math] per determinare il punto [math]x_2[/math]. La formula iterativa è [math]x_1=x_0+\frac{cos(x)-x^2}{sen(x)+2x}[/math]

Muovi il punto [math]x_0[/math] nell'intervallo AB. Avvicinando [math]x_0[/math] allo zero dell'equazione la convergenza sarà più veloce.

4.2.

4.3.

5.

Esercizio 05

Zeri dell'equazione [math]e^x-ln(x+4)=0[/math]

1. Metodo di Newton Raphson (ex.05)
2. Metodo di Newton Raphson (ex.05b)
3. Metodo delle secanti (ex.05)
4. Metodo delle secanti (ex.05b)
5. Metodo di punto fisso (ex.05)

5.1.

Metodo di Newton Raphson (ex.05)

Metodo di Newton Raphson per l'equazione [math]e^x-ln(x+4)=0[/math], per la ricerca della radice positiva. Il grafico della funzione è ingrandito nell'intervallo in cui si trova lo zero. Nel grafico si visualizzano tre passi dell'iterazione che parte dal punto [math]x_0[/math], in cui si calcola la tangente. Tale tangente serve a determinare il punto [math]x_1[/math] migliore approssimazione dello zero. Si costruisce la tangente in [math](x_1,f(x_1))[/math] per determinare il punto [math]x_2[/math] e così via.

Muovi il punto [math]x_0[/math] nell'intervallo [0,0,5]. Nota che più vicino è [math]x_0[/math] allo zero dell'equazione, più veloce sarà la convergenza.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

6.

Esercizio 06

Zeri della funzione [math]x^3-27x-2=0[/math]

1. Metodo di Newton Raphson (ex.06)
2. Metodo delle secanti (ex.06)
3. Metodo di punto fisso (ex.06)

6.1.

Metodo di Newton Raphson (ex.06)

Metodo di Newton Raphson per l'equazione [math] x^3−27x−2=0[/math]. Nel grafico si visualizzano tre passi dell'iterazione che parte dal punto [math]x_0[/math], in cui si calcola la tangente. Tale tangente serve a determinare il punto [math]x_1[/math] migliore approssimazione dello zero. Si costruisce la tangente in [math]x_1[/math] per determinare il punto [math]x_2[/math].

Muovi i punti A e B, in modo da individuare le altre due radici. Muovi il punto [math]x_0[/math]. Se [math]x_0[/math] si avvicina alla radice, il metodo converge più velocemente. Se si posiziona il punto [math]x_0[/math] nel punto stazionario della funzione, non si può adoperare il metodo delle tangenti: infatti se la derivata prima si annulla il metodo perde di significato.

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