[list][*][url=http://www4.wittenberg.edu/academics/mathcomp/bjsdir/TheFiveLunes120408.pdf]5 měsíčků[/url][br][/*][*][url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookVI/propVI31.html]Základy - souvislost se zobecněnou PV[/url][/*][*][url=https://www.google.cz/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0ahUKEwi7yNbKyqHLAhVknnIKHdYJDW0QFggiMAE&url=http%3A%2F%2Fwww.ms.uky.edu%2F~corso%2Fteaching%2Fmath330%2FHippocrates.pdf&usg=AFQjCNFvpFJquNjq0HiaZKaq-jsK44_eVA&sig2=iWGHH4_1PEzA5cFfNGCnRA&bvm=bv.115339255,d.bGs&cad=rja]Alberto Corso[/url][/*][*][url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PythagoreanLune.shtml#]Cut the Knot[/url][/*][*][url=https://en.wikipedia.org/wiki/Lune_of_Hippocrates]Wiki[/url][/*][*][url=http://divisbyzero.com/2012/06/18/puzzler-a-squarable-region-from-leonardo-da-vinci/]Leonardo[/url][/*][*][url=http://www.mathteacherctk.com/blog/2011/10/18/curvy-dissections/]Leonardo 2[/url][/*][*][url=http://www.mathpages.com/home/kmath171/kmath171.htm]5 měsíčků 2[/url][/*][*][url=https://en.wikipedia.org/wiki/Alhazen]Alhazen[/url][/*][*][url=http://math2.uncc.edu/~frothe/3181alleuclid1_18.pdf]The Lunes of Hippocrates[/url][/*][*][url=http://www.wwu.edu/teachingmathhistory/docs/psfile/lune1-teacher.pdf]Squaring of the Lunes[/url] ([url=http://www.wwu.edu/teachingmathhistory/docs/psfile/lune1-student.pdf]zadání pro studenty[/url]) ([url=http://www.wwu.edu/teachingmathhistory/problemsets.shtml]další problémy[/url])[br][/*][*][url=https://www.pf.jcu.cz/stru/katedry/m/knihy/DejinyM.pdf]Dějiny matematiky[/url][/*][*][url=http://class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/FileDownload.aspx?FileID=34]Nečasová - dva náměty[/url][/*][*][url=http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/400590]Hrdinský věk řecké matematiky[/url]. Bečvář, Jindřich[br][/*][/list]

Hippokratés z Chiu se v rámci hledání řešení kvadratury kruhu (nalezení eukleidovské konstrukce čtverce - přesněji jeho strany - který má stejný obsah jako daný kruh) zabýval možnostmi kvadratury speciálních zakřivených útvarů - [b]měsíčků[/b] (menisků). Měsíček je útvar vytvořený dvěma kruhovými oblouky:

Měsíčků existuje nekonečně mnoho - v závislosti na velikostech poloměrů a vzdálenosti středů obou kružnic (a tedy na úhlech [math]\alpha[/math] a [math]\beta[/math]). Avšak jejich KVADRATURU lze provést [b]pouze pro 5 vhodných kombinací[/b] čísel [math]r_{\alpha}[/math], [math]r_{\beta}[/math], [math]\alpha[/math], [math]\beta[/math]. To, že těchto možností je pouze 5, bylo dokázáno až ve 20. století. Avšak všech 5 možností už bylo objeveno dříve. Sám [b]Hippokrates objevil 3 měsíčky,[/b] jejichž kvadraturu lze provést a zbylé 2 měsíčky byly objeveny v až v 18. a 19. století.

[url=http://www4.wittenberg.edu/academics/mathcomp/bjsdir/TheFiveLunes120408.pdf]Lze dokázat[/url], že měsíček, jehož kvadratura je možná, musí splňovat [b]2 podmínky[/b]:[br][list=1][*]Poměr úhlů [math]\beta[/math] ku [math]\alpha[/math] (označme ho [math]m[/math]) musí být roven opačnému poměru druhých mocnin příslušných poloměrů, tedy: [math]m=\frac{\beta}{\alpha}=\frac{r_{\alpha}^2}{r^2_{\beta}}[/math] [/*][*]Poměr [math]m[/math] může nabývat pouze jedné z pěti hodnot: [math]m=2[/math]; [math]m=3[/math]; [math]m=\frac{3}{2}[/math]; [math]m=5[/math] a [math]m=\frac{5}{3}[/math] (První [b]tři odpovídají měsíčkům Hippokratovým[/b])[/*][/list][br]Z první podmínky vyplývá [math]\alpha\cdot r^2_{\alpha}=\beta\cdot r^2_{\beta}[/math]. To ale znamená, obsahy příslušných úsečí jsou shodné! (Obsah úseče je polovina středového úhlu v úhlové míře krát poloměr na druhou). Jaký to má důsledek:

[list][*]Ve všech pěti případech je tedy možné převést měsíček na [b]čtyřúhelník ABCD[/b] (ve tvaru [color=#1e84cc]šipky[/color] jako zde - pro [math]\beta[/math] menší než úhel pravý) nebo ve tvaru [color=#1e84cc]rovnoramenného trojúhelníku [/color](pro[math]\beta=90^{\circ}[/math]) či ve tvaru [color=#1e84cc]draka[/color] - pro [math]\beta[/math] větší než je úhel pravý). Ale každý mnohoúhelník lze převést eukleidovsky na [b]čtverec[/b] a tím dokončit kvadraturu.[br][/*][*]V každém z pěti případů kvadratury měsíčku navíc existuje ještě [b]další mnohoúhelník[/b], jehož obsah je roven obsahu měsíčku - to uvidíme dále.[/*][/list]

[b]Podobnost: [/b]Dvě kruhové úseče (resp. výseče nebo jen oblouky) jsou podobné, právě když mají stejný středový úhel.

[b]Tvrzení:[/b] Poměr obsahů dvou [i]podobných[/i] kruhových úsečí je roven poměru obsahů čtverců sestrojených nad jejich tětivami. (Platí i pro výseče.)