Für das Volumen einer Kugel gilt: [math]V=\frac{4r^3\pi}{3}[/math][br][br]Diese Formel kann von der Volumsformel für einen Kegel abgeleitet werden.[br][br]Im Applet ist links ein [b][color=#0000ff]Zylinder[/color][/b] und ein eingeschriebener [b][color=#b45f06]Kegel[/color][/b] dargestellt, die beide den Radius r und die Höhe r haben.[br]Auf der rechten Seite ist eine [b][color=#b45f06]Halbkugel[/color][/b] zu sehen, die ebenfalls den Radius r hat.[br]Werden nun die Körper von einer [b][color=#6aa84f]Ebene[/color][/b] in der Höhe h geschnitten, so entsteht links ein [b][color=#ffd966]Kreisring[/color][/b] und rechts eine [b][color=#f1c232]Kreisfläche[/color][/b].[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere die Höhe h, in der die Ebene die Körper schneidet.

Der Flächeninhalt des Kreisrings A[sub]1[/sub] ist [math]A_1=r^2\pi-h^2\pi[/math] und der Flächeninhalt des Kreises beträgt ebenfalls [math]A_2=\left(\sqrt{r^2-h^2}\right)^2\cdot\pi=r^2\pi-h^2\pi[/math]; sie sind also gleich groß.[br]Stimmen nun die Flächeninhalte der beiden Schnittflächen in jeder Höhe h überein, so muss das Volumen der Halbkugel genau dem Volumen des Restkörpers (Zylinder ohne Kegel) entsprechen.[br][br][math]V_{Halbkugel}=V_{Zylinder}-V_{Kegel}[/math][br][math]V_{Halbkugel}=r^2\pi\cdot r-\frac{r^2\pi\cdot r}{3}=\frac{2r^3\pi}{3}[/math][br][math]V_{Kugel}=\frac{4r^3\pi}{3}[/math]