Zu einer differenzierbaren Kurve [math]t\mapsto z\left(t\right),t\in\mathbb{R}[/math] in der Gaussschen Zahlenebene [math]\mathbb{C}[/math] gehört eine entsprechende Kurve [math]t\mapsto \mathbf\vec{p}\left(z\left(t\right)\right)[/math] von Berührgeradenvektoren der Möbiusquadrik, dargestellt in einem euklidischen Koordinatensystem. Die Berührgeradenvektoren werden entlang der Kurve mitgeführt, sie bilden eine sogenannte [i][b]Regelfläche[/b][/i]. Wegen [math]\mathbf\vec{p}_\infty\bullet \mathbf\vec{p}\left(z\right)\in\mathbb{R}[/math] schneiden diese Berührgeraden stets die Tangente [math]\mathbf\vec{p}_{\infty}[/math], sie sind also i.d.R. [i]nicht[/i] tangential an die Kurve.[br]Das obige Applet zeigt einen Kreis [math]z\left(t\right)[/math] in [math]\mathbb{C}[/math], die Berührgeradenvektoren [math] \mathbf\vec{p}\left(z\left(t\right)\right)[/math] und die Kreistangenten des stereographischen Bildes auf der Möbiusquadrik.[br]Unten werden die Tangenten einer Ellipse nach der stereographischen Projektion angezeigt.[br]

[u][b]Frage:[/b][/u] Unter welcher Bedingung sind Berührgeradenvektoren entlang einer Kurve auf der Möbiusquadrik [i]tangential [/i]an die Kurve? [br]Die Berührgeraden bilden dann eine [i][b]Torse[/b][/i], so nennt man eine [i]Regelfläche[/i], deren Geraden tangential an eine Raumkurve sind.[br]Dieselbe Frage stellt sich für [i]komplex differenzierbare, [/i]also[i] analytische [/i]bzw. [i]meromorphe Funktionen[/i]: [br]die Ableitung [math]f'\left(z\right)[/math] einer differenzierbaren Funktion [math]f\left(z\right)[/math] läßt sich als Tangentialrichtung entlang der Kurven [math]x\mapsto f\left(x+iy\right)[/math] für [math]y=const[/math] auffassen.[br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]