[b][color=#ff0000]Una funzione matematica si dice pari se valutandola per un qualsiasi valore di [/color][/b][math]x[/math][b][color=#ff0000] e per il corrispondente valore opposto si ottiene lo stesso risultato:[/color][/b][br][br][math]\Large{f\ è\ pari\ se\ f(\textcolor{red}{-}x) = f(x) \ \ \forall x\in \mathbb{D}}[/math][br][br]Il nome deriva dal fatto che l'esempio più semplice di funzione pari sono le potenze pari; ad esempio se consideriamo [math]\large{f: y=x^6}[/math] possiamo verificare che calcolandola in [math]\large{\textcolor{red}{-x}}[/math] otteniamo lo stesso risultato che calcolandola in [math]\large{x}[/math];[br][br][math]\Large{f: y=x^6;\quad\begin{array}{ll} f(x)=x^6\\f(\textcolor{red}{-x})=(\textcolor{red}{-x})^6 = x^6 \end{array}}[/math][br][br]Le potenze pari non sono le uniche funzioni pari; un altro esempio importante è il coseno, come vediamo nell'animazione qua sotto in cui si mostra anche [b]un'importante proprietà delle funzioni pari: il loro grafico è simmetrico rispetto all'asse delle y[/b].[br]

Corrispondentemente, [color=#ff0000][b]si definisce dispari una funzione che valutata al valore opposto a quello di un qualsiasi valore di riferimento, restituisce risultato opposto[/b][/color], cioè:[br][br][math]\Large{f\ è\ dispari\ se\ f(\textcolor{red}{-}x) =\textcolor{red}{-}f(x) \ \ \forall x \in \mathbb{D}}[/math][br][br]Puoi intuire che qualsiasi potenza dispari è una funzione dispari, infatti ad esempio[br][br][math]\Large{f: y=x^5 \begin{cases}f(x) = x^5\\f(\textcolor{red}{-x}) = (\textcolor{red}{-x})^5 = \textcolor{red}{-}x^5 \end{cases}}[/math][br][br]Analogamente a quanto visto per il coseno, vediamo nella prossima animazione che il seno è una funzione dispari e che [b]il grafico delle funzioni dispari è simmetrico rispetto all'origine del sistema di riferimento[/b].

[color=#ff0000][size=150]PARI O DISPARI?[br][/size][/color]La nomenclatura "pari" e "dispari" offre SOLO ALCUNE analogie con le proprietà dei numeri corrispondenti, mentre per altri aspetti il comportamento è molto differente.[br][b][color=#ff0000][br]La differenza più importante è che, a differenza dei numeri, una funzione non è necessariamente pari o dispari: la maggior parte delle funzioni non è né pari né dispari.[/color][/b][br][br][color=#ff0000]Per verificare se una funzione qualsiasi è pari, dispari o nessuna delle due è sufficiente verificare cosa succede se invece di valutarla per un valore [/color][math]x[/math][color=#ff0000] la valutiamo per il valore [/color][math]-x[/math]: [br][list][*]la funzione è [b]pari[/b] se otteniamo la stessa espressione (stesso risultato)[/*][*]la funzione è [b]dispari[/b] se otteniamo l'espressione con tutti i segni cambiati (risultato opposto)[/*][*]in qualsiasi altro caso la funzione non è né pari né dispari (e non presenta nessuna delle simmetrie descritte sopra)[/*][/list]Vediamo alcuni esempi. [br][br][color=#0000ff]La funzione [math]\large{f:\ y=x^4+x^2}[/math] è pari[/color], perché:[br][br][math]\large{f(\textcolor{red}{-x})=(\textcolor{red}{-x})^4+(\textcolor{red}{-x})^2=x^4+x^2=f(x)}[/math][br][br][color=#0000ff]La funzione tangente è dispari[/color], perché:[br][br][math]\Large{\tan(\textcolor{red}{-x}) = \frac{\sin(\textcolor{red}{-x})}{\cos(\textcolor{red}{-x})}= \frac{\textcolor{red}{-}\sin(x)}{\cos(x)} = \textcolor{red}{-}\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\textcolor{red}{-}\tan(x)}[/math][br][br][color=#0000ff]A volte è necessario elaborare l'espressione della funzione per capire se è pari, dispari o nessuno dei due. Ad esempio [math]\large{g:\ y=\frac{x^3+\sin(x)}{x^4-3}}[/math] è dispari[/color], perché:[br][br][math]\large{g(\textcolor{red}{-x})\ =\frac{(\textcolor{red}{-x})^3+\sin(\textcolor{red}{-x})}{(\textcolor{red}{-x})^4-3}=\frac{\textcolor{red}{-}x^3+[\textcolor{red}{-}\sin(x)]}{x^4-3}=\mbox{raccolgo\\un meno}=\frac{\textcolor{red}{-}[x^3+\sin(x)]}{x^4-3}=\textcolor{red}{-}\frac{x^3+\sin(x)}{x^4-3}=\textcolor{red}{-}g(x)}[/math][br][br]Un semplice esempio di funzione che non è né pari né dispari è una qualsiasi retta che NON passa per l'origine . Ad esempio se consideriamo [math]\large{g:\ y=2x+4}[/math] abbiamo: [br][br][math]\large{g(\textcolor{red}{-x})=2(\textcolor{red}{-x})+4=\textcolor{red}{-}2x+4}[/math][br][br]che non è né l'espressione originale, né l'espressione originale con tutti i segni cambiati.