A verseny egyik feladata ([url=https://www.bolyai.hu/files/AD_2016-17_feladatok.pdf]Kezdők I-II. kategória 2. forduló 1. feladat[/url]) így hangzott:[br][br]Egy kört az [i]AB[/i] átmérője két ívre osztja. Ezek közül az egyiken kijelöljük a [i]C [/i]és [i]D[/i] pontokat. Legyen az [i]AC[/i] [i]és BD [/i]egyenesek metszéspontja [i]P[/i], az [i]AD[/i] és [i]BC[/i] egyeneseké pedig [i]Q[/i]! Mekkora szöget zár be a [i]PQ[/i] egyenes az [i]AB[/i] átmérővel?

[br]A feladathoz készített (dinamikus) ábráról leolvasható, hogy az [i]ABP Δ [/i]magasságpontja [i]Q[/i] - függetlenül attól, hogy az [i]AB[/i] félköríven milyen sorrendben helyezkedik el a [i]C[/i] és [i]D[/i] pont. Így a háromszög [i]PQ [/i]magasságegyenese is merőleges a szemközti [i] AB[/i] oldalra.[br][br]Az, hogy a [i]C[/i] és [i]D[/i] pontok az [i]AB [/i]szakasz fölé rajzolt egyik félkörre illeszkednek, nem csak Thalész tétel alkalmazását sugallja, azt is biztosítja, hogy a [i]P[/i] és [i]Q[/i] metszéspontok biztosan léteznek, és [i]C ≠ D[/i] esetben különböznek is egymástól, így valóban létrejön az s=(PQ) egyenes.

Ha a versenyfeladatban kitűzött szerkesztést a P-modellen hajtjuk végre, akkor előfordulhat, hogy a [i]P[/i] és[i] Q[/i] metszéspontok valamelyike nem jön létre. Ezért kiegészítettük a feladatot azzal, hogy ha pl. az [i][AD[ [/i]és [i][BC[[/i] félegyenesek nem metszők, akkor a [i]s=PQ[/i] egyenes szerepét az a [i]P[/i]-re illeszkedő egyenes vegye át, amely eleme az [i]AD[/i] és [i]BC[/i] egyenesekhez tartozó sugársornak.[br][br]Talán meglepőnek tűnik az eredmény: az eredeti feladatban megfogalmazott sejtés - a fenti kiegészítéssel - [b][color=#9900ff]abszolút geometriai összefüggés.[br][br][/color][/b]A sejtés igazolását igényesebb olvasóinkra bízzuk. Ugyancsak annak a belátását is, hogy ugyanez az összefüggés a gömbi geometriában is érvényes, ahol ugyancsak nem használhatjuk Thalész tételét.