Observando os valores da sequência [br][br][math]\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}=\left\{\frac{n^5}{n!}\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math][br][br][b]é possível conjecturar que [math]x_n[/math][/b]:

Pela definição formal de convergência de sequências numéricas, dizemos que uma sequência [math]\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math]  é convergente se para qualquer número [math]ε>0[/math] existir um número real [math]a[/math] e um índice [math]n_0[/math]  tais[br]que[br][br][math]n\ge n_0⇒|x_n-a|<ε[/math].[br][br]Seguindo essa definição formal, tomando [math]ε=0.1[/math], [b]qual o menor valor de [math]n_0[/math]  para satisfazer a definição de convergência da sequência[/b][br][br][math]\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}=\left\{\frac{n^5}{n!}\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math],[br][br]ou seja, qual o menor índice a partir do qual os elementos da sequência estão a uma distância menor do que[math]ε=0.1[/math] do limite que você descobriu na questão anterior?

Cinco alunos de Cálculo III – Ana, Bruna, Cibele, Douglas e Eduardo – se depararam com o seguinte problema:[br][br]“Considere [math]\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math]  uma sequência de números reais positivos tal que [br][br][math]x_{n+1}=\frac{x_n}{n+1}[/math].[br][br]Qual é o valor de [math]\lim_{n\rightarrow\infty}x_n[/math]?”[br][br]Todos resolveram e quando foram comparar as respostas descobriram que haviam obtido respostas diferentes: Ana disse que o limite era infinito; Bruna chegou a conclusão de que o limite era 0; Cibele[br]determinou que o limite é igual ao primeiro termo da sequência, no caso [math]x_0[/math]; Douglas chegou que o limite vale 1; Eduardo disse que o limite é igual a [math]e[/math]. [b]Qual deles acertou?[/b]

Um caso muito comum de séries numéricas em que é fácil determinar se a soma converge ou diverge é o das séries geométricas. Nestes casos, além de ser fácil dizer que converge, é fácil dizer qual o limite da soma infinita. Uma série geométrica é da forma [br][br][math]\sum_{n=0}^∞a^k[/math], onde [math]a\in\mathbb{R}[/math].[br][br]A série só converge quando a razão [math]a[/math] satisfaz uma certa condição. Sabendo disso, analise as seguintes afirmações:[br][br]I. A série geométrica dada acima converge quando [math]|a|<1[/math].[br][br]II. [math]\sum_{n=0}^∞\left(\frac{1}{3}\right)^n=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}[/math].[br][br]III. [math]\sum_{n=0}^∞\left(\frac{3}{2}\right)^n=\frac{1}{1-\frac{3}{2}}=-2.[/math][br][br]IV. Se a série geométrica [math]\sum a^k[/math] converge, então também converge a série [math]\sum ca^k[/math], para qualquer constante [math]c\in\mathbb{R}[/math].[br][br][b]É correto o que se afirma em[/b]

Sabe-se que, para todo número inteiro [math]n>1[/math], tem-se[br][br][math]\frac{n\sqrt[n]{e}}{e}<\sqrt[n]{n!}<\frac{n\sqrt[n]{ne}}{e}[/math].[br][br]Neste caso, [b]quanto vale o limite [math]\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\right)[/math][/b]?[br][br][b]Dica:[/b] [math]\lim_{n\rightarrow\infty}\left(n^{\frac{1}{n}}\right)=1[/math]e lembre-se que [math]\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}[/math].