In der [b]klassischen Physik[/b] bleibt die [b]Masse [/b]eines Körpers unabhängig von seiner Geschwindigkeit immer gleich. Sie ist damit eine [b]Erhaltungsgröße [/b]ebenso wie die [b]Gesamtenergie eines Systems[/b].[br][br]Eine der wichtigsten Folgerung aus den Grundannahmen der Speziellen Relativitätstheorie ist hingegen, dass die Masse eines Körpers von der Geschwindigkeit abhängt.[br][br]Die relativistische Masse m eines Körpers, der sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, nimmt für einen ruhenden Beobachter den Wert [math]m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}[/math] an, wobei m[sub]0[/sub] die sogenannte Ruhemasse darstellt.

Im nachfolgenden Applet sind zwei Körper mit jeweils der Masse m[sub]0[/sub] zu sehen, die durch eine Feder verbunden sind und eine Schwingung ausführen.[br]In den Zeitpunkten, in denen die Schwingung kurz zum Stillstand kommt, hat die Masse nur den Wert der Ruhemasse m[sub]0[/sub]. Sobald sie sich aber bewegt, hat sie den höheren Wert der relativistischen Masse.[br]Die Frage ist nun, woher dieser Zuwachs an Masse kommen kann.

Es soll nun gezeigt werden, dass in der SRT Masse und Energie nicht mehr jeweils für sich allein Erhaltungsgrößen sind, sondern dass eine entsprechende Aussage nur für für beide Größen gemeinsam formuliert werden kann.[br][br]Wir gehen von der Überlegung aus, dass man den Ausdruck [math]\frac{1}{\sqrt{1\pm x}}[/math] in eine Potenzreihe entwickeln kann.[br] [center] [math]\frac{1}{\sqrt{1\pm x}}=1\mp\frac{1}{2}x+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}x^2\mp\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}x^3+\frac{1\cdot3\cdot5\cdot7}{2\cdot4\cdot6\cdot8}x^4\mp+...[/math]     [/center]       [br]Für den Ausdruck   [math]\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}[/math] folgt damit  [br][center] [math]\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 1+ \frac{1}{2} \cdot \frac{v^2}{c^2} + \frac{3}{8} \cdot \frac{v^4}{c^4} + \frac{15}{48} \cdot \frac{v^6}{c^6} + \frac{105}{384} \cdot \frac{v^8}{c^8} + ...[/math]      [/center]und weiter für den Ausdruck der relativistischen Masse[br][center] [math]\frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = m_0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{m_0 \cdot v^2}{c^2} + \frac{3}{8} \cdot \frac{m_0 \cdot v^4}{c^4} + \frac{15}{48} \cdot \frac{m_0 \cdot v^6}{c^6} + \frac{105}{384} \cdot \frac{m_0 \cdot v^8}{c^8} + ...[/math]      [/center][br]Weil der 2. Term [math]\frac{1}{2}\cdot\frac{m_0\cdot v^2}{c^2}[/math] aber bis auf den Faktor c[sup]2[/sup] im Nenner mit der klassischen Formel für die kinetischen Energie [math]E_{kin}=\frac{1}{2}\cdot m_0v^2[/math] übereinstimmt, multiplizieren wir die gesamte Gleichung mit c[sup]2[/sup] und erhalten[br][center] [math]\frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \underbrace{m_0c^2}_{Ruheenergie} + \underbrace{\frac{1}{2} \cdot m_0 \cdot v^2}_{E_{kin, klass}} + \underbrace{ \frac{3}{8} \cdot \frac{m_0 \cdot v^4}{c^4} + \frac{15}{48} \cdot \frac{m_0 \cdot v^6}{c^6} + \frac{105}{384} \cdot \frac{m_0 \cdot v^8}{c^8} + ... }_{\text{relativistische Korrektur}}[/math]      [br][/center]Hier ist der 2. Term nun mit der klassischen kinetischen Energie identisch, daher müssen die anderen Terme ebenfalls Energiegrößen darstellen. Der erste Term bezeichnet die Ruheenergie eines Körpers mit Ruhemasse m[sub]0[/sub], der dritte und alle weiteren Terme stellen relativistische Korrekturen zur kinetischen Energie dar.[br][br]Insgesamt erhält man als Ergebnis die berühmte Formel[br][br][center] [math]E=m\cdot c^2=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\cdot c^2[/math][/center][center][/center][center][size=150][size=200][b][/b][/size][/size][size=150][b]E = E[sub]o[/sub] + E[sub]kin[/sub] = m[sub]o[/sub]·c[sup]2[/sup] + E[sub]kin[/sub] = m·c[sup]2[/sup][/b][/size][sup][/sup][size=150][b][size=200][sup][/sup][/size][sup][/sup][/b][/size][sup][/sup][/center][br]Für die kinetische Energie ergibt sich aus der obigen Anleitung[br][br][center][math]E_{kin}=E-E_0=m\cdot c^2-m_0\cdot c^2=\left(m-m_0\right)\cdot c^2=\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)\cdot m_0c^2[/math][/center]

Im folgenden Applet ist die kinetische Energie entsprechend der [b]klassischen[/b] und der [color=#FF0000][b]relativistischen[/b][/color] Sichtweise dargestellt. Da die Bewegungsenergie E[sub]kin[/sub] von der Ruhemasse m[sub]o[/sub][sup] [/sup]des betrachteten Körpers abhängig ist, ist auf der 2. Achse E[sub]kin[/sub]/m[sub]o[/sub]c[sup]2[/sup] aufgetragen.[br] [br][b]Aufgabe[/b][list][*]Bewegen Sie den [b][color=#0000FF]Punkt[/color] [/b]auf der 1. Achse, um die Geschwindigkeit von v = 0 bis v = c zu variieren.[/*][/list] [br]Im Diagramm werden die unterschiedlichen Werte für die kinetische Energie für m[sub]0[/sub] = 1 (kg) entsprechend der [b]klassischen[/b] [b]Physik[/b] und der [color=#FF0000][b]Relativitätstheorie[/b][/color] angezeigt.