Exponentialfunktion
Dieser Lernpfad soll dir helfen, dir wichtige Kompetenzen bezüglich der Exponentialfunktion zu erarbeiten. Die Übungen, Beobachtungen und Notizen im Zuge des Lernpfades hältst du in deinem Lerntagebuch fest. Wie dieses aussehen soll, entscheidest du selbst! (Zettel müssen aber zusammengeheftet sein) Für die Ausarbeitung der Fragestellungen hast du 2 Unterrichtsstunden Zeit. Diese Zeit wird nicht ganz ausreichen. Den Rest musst du zuhause bearbeiten. Deine Erarbeitungen im Lerntagebuch zählen zu deiner Mitarbeitsnote! Soll dies bereits in der Schulnachricht berücksichtigt werden, musst du es mir bis Mittwoch, den 25.1. abgeben. Falls dies nicht nötig ist, ist der Abgabetermin Freitag, der 27. 1. Viel Spaß
Table of Contents
- Einführung
- Das Schachbrett und der Reis
- Exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall
- Bakterien
- Zinsen
- Radioaktiver Zerfall
- Definition der Exponentialfunktion
- Definition der Exponentialfunktion
- Eigenschaften der Exponentialfunktion
- Eigenschaften von Exponentialfunktionen
- Vergleich: lineares und exponentielles Wachstum (bzw. Abnahme)
- Ln Umkehrfunktion
- Exponentialfunktion und Umkehrfunktion
- BGB
Das Schachbrett und der Reis
Im alten Persien erzählten sich die Menschen einst dieses Märchen: Es war einmal ein kluger Höfling, der seinem König ein kostbares Schachbrett schenkte. Der König war über den Zeitvertreib sehr dankbar, weil er sich mit seinen Ministern bei Hofe oft ein wenig langweilte. So sprach er zu seinem Höfling: "Sage mir, wie ich dich zum Dank für dieses wunderschöne Geschenk belohnen kann. Ich werde dir jeden Wunsch erfüllen." Nachdenklich rieb der Höfling seine Nase. Nachdem er eine Weile nachgedacht hatte, sagte er: "Nichts weiter will ich, edler Gebieter, als daß Ihr das Schachbrett mit Reis auffüllen möget. Legt ein Reiskorn auf das erste Feld, und dann auf jedes weitere Feld stets die doppelte Anzahl an Körnern. Also zwei Reiskörner auf das zweite Feld, vier Reiskörner auf das dritte, acht auf das vierte und so fort." Der König war erstaunt. "Es ehrt dich, lieber Höfling, daß du einen so bescheidenen Wunsch äußerst", sprach er. "Er möge dir auf der Stelle erfüllt werden." Der Höfling lächelte, eine Spur zu breit vielleicht, und verneigte sich tief vor seinem Herrscher.
Aufgaben
[list=1][*]Schätze, wieviel Reis auf dem letzten Feld liegen müsste. (Ein Schachbrett hat 64 Felder)[/*][*]Berechne, wieviele Reiskörner auf dem letzten Feld liegen müssten?[/*][*]Wenn du davon ausgehst, dass ein Reiskorn 0,03g wiegt, wieviel kg Reis müssten auf dem letzten Feld liegen?[/*][*]Schau dir das folgende Video an. Halte mit einem oder zwei Sätzen fest, was du zur Zunahme der Anzahl der Reiskörner beobachtest. Vergleiche mit deiner anfänglichen Schätzung![br][/*][/list]
Bakterien
Aus dem Bericht eines Forschungslabors:
[i]Bakterien können sich in einem bestimmten Zeitraum unter optimalen Bedingungen sehr rasch vermehren. [br]So kann sich die Anzahl einer bestimmten Bakterienart innerhalb einer Stunde verdoppeln.[/i]
Aufgabe
Angenommen in einer Petrischale befinden sich 1000 Bakterien und diese verdoppeln sich stündlich. [br][list=1][*]Trage die Anzahl der Bakterien nach 1, 2, 3 und 4 Stunden in folgende GeoGebra-Tabelle ein. [br][/*][*]Stelle eine Formel für die Berechnung der Anzahl der Bakterien nach t Stunden auf![br][/*][*]Deine Tabelle kann als Wertetabelle einer Funktion betrachtet werden. Zeichne die 5 Punkte beginnend mit (0,1000) in das Koordinatensystem ein, indem du sie in der Eingabeleiste eingibst.[br][/*][/list]
Aufgabe
[list=1][*]Lies dir das Kapitel [url=http://www.mathe-online.at/mathint/log/i.html#Bakterien]Bakterien und exponentielles Wachstum[/url] aufmerksam durch. Notiere dir eventuelle Fragen.[br][/*][*]Kontrolliere deine Ergebnisse anhand der Erklärungen.[br][/*][*]Notiere die wichtigsten Inhalte des Kapitels in deinem Lerntagebuch. Achte besonders auf folgende Aspekte:[/*][/list][list][*]die Eigenschaften dieses Beispiels, die kennzeichnend für [b]exponentielles Wachstum[/b] sind[/*][*]die Bedeutung von [b]Anfangswert[/b] und [b]Vermehrungsrate[/b][br][/*][*]die [b]Funktionsgleichung[/b], die das exponentielle Wachstum von anfänglich 1000 Bakterien, die sich jeweils stündlich verdoppeln, beschreibt[br][/*][*]die Stelle in der Funktionsgleichung, an der die [b]unabhängige Variable t [/b]steht[br][/*][*]Zeichne [b]den Graph der Funktion[/b] in dein Lerntagebuch und[br][/*][*]berechne die [b]Anzahl an Bakterien nach 9 Stunden und 30 Minuten[/b][/*][/list]
Definition der Exponentialfunktion
[size=150][size=200][size=100]Eine reelle Funktion [math]f:A\longrightarrow\mathbb{R}[/math]mit [math]f\left(x\right)=c\cdot a^x\left(c\in\mathbb{R},a\in\mathbb{R}^+\right)[/math]heißt [b]Exponentialfunktion[/b] mit der Basis a.[/size][/size][/size]
Aufgabe
Übertrage die Definition der Exponentialfunktion in dein Lerntagebuch und beantworte folgende Fragen:[br][br][list=1][*]Wieso wird a>0 vorausgesetzt?[br][/*][*]Betrachte die drei Beispiele (Bakterien, Zinsen und radioaktiver Zerfall) und gib an, welche Werte die Parameter c und a dort angenommen haben. Welche Bedeutung haben die beiden Parameter in diesen Zusammenhängen.[br][/*][*]Was ist der Unterschied zwischen einer Potenzfunktion und einer Exponentialfunktion?[br][/*][/list]
Eigenschaften von Exponentialfunktionen
Aufgabe
Besuche die Internetseite [b][url=http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/]Untersuchung der Eigenschaften der Exponentialfunktion[/url],[/b] wähle das Kapitel[b] "Untersuchungen" [/b]und beantworte die dort gestellten Fragen mithilfe des GeoGebraApplets.[br][br]Welche zusätzlichen Eigenschaften kannst du erkennen? (Definitionsmenge, Wertemenge, Assymptoten, Symmetrie zweier Graphen zueinander)[br][br]Lies dir die Eigenschaften von Exponentialfunktionen auf Seite 56 und 57 deines Mathematikbuches durch und verbessere oder ergänze deine Beobachtungen, falls nötig.[br][br]Übe anhand folgender [b][url=http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/]Zuordungsübung[/url].[/b] Mach dir sinnvolle Notzen in dein Lerntagebuch.[br][br]Mache das [b][url=http://www.mathe-online.at/materialien/JoosLange/files/quiz_verlauf_des_graphen2.html]Quiz[/url][/b] auf mathe-online.at, um dein Wissen über die Graphen von Exponentialfunktionen zu testen. Verbessere deine Fehler in dein Lerntagebuch und mache dir sinnvolle Notizen.
Exponentialfunktion und Umkehrfunktion
Die Funktion [math]f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^+; f\left(x\right)=a^x[/math] heißt [b]Exponentialfunktion [/b]zur [b]Basis a[/b] [math]\left(a\in\mathbb{R}^+\backslash\left\{1\right\}\right)[/math][br][br]Die Funktion [math]g:\mathbb{R}^+\longrightarrow\mathbb{R};g\left(x\right)=log_a(x)[/math] heißt [b]Logarithmusfunktion [/b]zur [b]Basis a[/b] [math]\left(a\in\mathbb{R}^+\backslash\left\{1\right\}\right)[/math] und ist die [b]Umkehrfunktion [/b]zur [b]Exponentialfunktion[/b] mit der entsprechenden Basis.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verschiebe den [b][color=#0000ff]Punkt A[/color][/b] und beobachte die Auswirkungen.[br]Verändere mit dem Schieberegler die [b]Basis a.[/b]