Ein Beispiel wäre ein Glücksrad, auf dem die Symbole "Sonne" und "Mond" zu sehen sind. Dreht man das Rad, kann man als mögliche Ausgänge des Experiments "Sonne" oder "Mond. Der Ergebnisraum enthält als diese beiden Experimenten.[br]Möchte ich weitere Analysen durchführen, ist es hilfreich, die beiden diskreten Ergebnisse in zwei diskrete Werte umzusetzen: Beispielsweise möchte ich mit dem Glücksrad ein Gewinnspiel gestalten. Dann gehört zu "Sonne" vielleicht der Hauptgewinn, der Spieler erhält 2 Eur, und zu "Mond" die Niete: Der Spieler verliert 1,50 Eur. Diese Zuordnung "Zu Sonne gehört +2€ und zu Mond gehört -1,50 €" weist jedem Ergebnis eine reelle Zahl zu. Statt Zuordnung kann man auch Abbildung sagen. Also ist das eine ZUfallsvariable, die den Gewinn des Spielers in diesem Glücksspiel beschreibt.

Eine Abbildung (oder Zuordnung) bildet Paare. In diesem Fall werden zwei Paare gebildet, da der Ergebnisraum zwei Elemente hat: Man kann "Kopf" oder "Zahl" werfen. Bei einem normalen Würfel würde man die Paare (Kopf; 0,5) und (Zahl; 0,5) bilden, also in den Worten der Definition: Dem Ergebnis "Kopf" wird der Wert 0,5 aus dem Intervall [0,1] zugeordnet und dem Ergebnis "Zahl" auch.[br]Wenn die Münze aber gezinkt ist, könnte man andere Zuordnungen machen, zum Beispiel ist "Kopf" nun wahrscheinlicher, und es ergäbe sich vielleicht: Dem Ergebnis "Kopf" wird die Zahl 0,7 zugeordnet. Man schreibt dann auch P("Kopf")=0,7, also das Ergebnis "Kopf" hat die Wahrscheinlichkeit 0,7. Damit die Definition oben zutrifft, muss dann das Ergebnis "Zahl" die Wahrscheinlichkeit 0,3 haben, denn alle Werte, die man zuordnet, müssen in der Summe 1 ergeben. (Die Wahrscheinlichkeit für den gesamten Ergebnisraum ist 1.)

Je größer die Werte von n sind, desto flacher werden die Balken, da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten immer 1 bleibt, aber mehr Werte erzeugt werden. (Es sind mehr Balken.)[br]Je mehr die Werte von p gegen 0 oder 1 streben, desto mehr wandert das Histogramm nach links oder rechts. Für zu kleine Werte von n und Erfolgswahrscheinlichkeiten nahe 0 oder 1 verliert das Histogramm die Eigenschaft der Symmetrie, d.h. die Balken sind nicht mehr symmtrisch um den Erwartungswert.[br][br]Die Normalverteilung ist eine stetige Dichtefunktion, d.h. sie nimmt jeden möglichen Wert für X zwischen 0 und dem Maximum an. Die Normalverteilung ist diskret, es gibt dort nur ganzzahlige Werte für X. (Die Normalverteilung ist eine Exponentionalfunktion, die Binomialverteilung wird durch eine abschnittsweise definierte Treppenfunktion erzeugt.)[br]Die Normalverteilung bleibt auch für extreme Werte von p symmetrisch, sie ist in diesem Fall keine gute Annäherung an die Binomialverteilung mehr. Auch wenn n zu klein ist, ist die Näherung schlecht, da die Binomialverteilung dann zu starke Sprünge beinhaltet, die die Normalverteilung ja nicht hat. (Aber bei geringem n braucht man auch keine Näherung!)

Wenn die Standardabweichung einer Binomialverteilung größer als drei ist, kann die Normalverteilung als Näherung genutzt werden.[br][br]Ohne Beweis sagt dies aus, dass mit dieser Bedingung sicher gestellt wird, dass die Werte von n groß genug sind bzw. p nicht zu extrem ist, um eine Näherung noch zu ermöglichen. (Sonst gäbe es zu große Sprünge oder keine Symmetrie, siehe Aufgabe 6.)

Ein Integral summiert alle Werte unter der Kurve auf, es berechnet den Flächeninhalt. Der Flächeninhalt aller kleinen Balken unter der Kurve (wenn man sich vorstellt, das n wäre sehr groß und da wären ganz viele, sehr dünne Balken) ist die aufsummerierte Wahrscheinlichkeit. Wie bei der Binomialverteilung wird also die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der in Frage kommenden Werte von X gebildet.[br]Dabei ist a die untere Grenze und b die obere. Man summeriert von a bis b. Ist F eine Stammfunktion von f, rechnet man dann F(b)-F(a). Das entspricht der Nutzung der kumulierten Binominalverteilung, von man ebenfalls die Werte der Tabelle subtrahiert: P(X[math]\le[/math]b)-P(X[math]\le[/math]a), um die Wahrscheinlichkeit eines Bereiches (stetig: Intervalls) zu erhalten.[br][br]Das Korrekturglied wird genutzt, um den Übergang von diskret zu stetig exakter zu gestalten. Der Wert des Balkens liegt zumeist in der Mitte zwischen den beiden ganzzahligen Werten. (Das sieht in der Grafik nicht so aus, ist aber so.) Um diesen "Balkenwert" besser zu treffen, addiert bzw. subtrahiert man also einen halben Schritt. Dabei wird an der unteren Grenze subtrahiert, an der oberen addiert. Insgesamt weitet man das Intervall also ein wenig nach links und rechts aus. So vermeidet man auch, versehentlich bei der Näherung eine zu kleine Wahrscheinlichkeit zu bestimmen. Dies soll vermieden werden, da in den meisten Anwendungen die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers berechnet wird - besser, man denkt, der Fehler sei zu wahrscheinlich (und ist deswegen vorsichtig), als dass man denkt, der Fehler sei unwahrscheinlicher, als er wirklich ist (und wird deswegen unvorsichtig).

Es gilt[math]\int_a^af\left(x\right)dx=0[/math], also wäre P(X=k)=0, was keinen Sinn macht. Durch die Nutzung des Korrekturgliedes berechnet man den Flächeninhalt unter der Kurve von einem Balken der Dicke 1, das wäre dann also die Wahrscheinlichkeit P(X=k). So ganz exakt wäre es aber die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der Zufallsvariable um 0,5 um k herum ist - was, wenn die Normalverteilung als Näherung genutzt wird, schon dasselbe ist wie die Aussage, X wäre gleich k. [br]Nutzt man die Normalverteilung nicht als Näherung, sondern bei einer wirklich stetigen ZV, dann kann man P(X=k) nicht bestimmen. (Da es dann die "Schummelei" mit dem Korrekturglied nicht gibt.)

- Weil das Integral von a bis a den Wert Null hat, siehe vorherige Aufgabe.[br]- Minus [math]\mu[/math] und durch [math]\sigma[/math] passt die Werte an die Funktion [math]\phi[/math] (x) an - Verschiebung nach links und Stauchung/Dehnung. Man kann damit jede normalverteilte Zufallsvariable "umrechnen" (standardisieren) und dann die Tabelle der Standardnormalverteilung nutzen.[br]- Mit demselben Argument wie eben: Man erweitert den Bereich lieber ein bisschen, satt ihn versehentlich zu klein zu machen.

Zunächst berechnet man [math]\mu=100\cdot0,3=30[/math]und [math]\sigma=\sqrt{30\cdot0,7}=\sqrt{21}=4,58[/math].[br]Dann nutzt man die Formel.[br][math]P\left(X\le40\right)=\phi\left(\frac{40+0,5-30}{4,58}\right)=\phi\left(2,29\right)=0,9890[/math][br]Der Wert stammt aus der Tabelle aus dem Buch NeueWege. Nutzt man Geogebra, erhält man 0,9875 aus der Binomialverteilung und 0,9855 aus der Normalverteilung. Ich vermute, dies hängt mit der (Un-)Genauigkeit der Tabelle und den Rundungen bei der Näherung zusammen.[br]