Graphen ganzrationaler Funktionen

Matthias Tillmann, Mar 26, 2014

Ein Sammlung von Arbeitsblättern, mit denen man Zusammenhang zwischen dem Funktionsterm und dem Verlauf der Graphen untersuchen kann.

Table of Contents

  1. Verlauf und Potenzfunktionen
    1. Vergleich ganzrationale Funktion mit Potenzfunktionen
    2. Verlauf von Potenzfunktionen
    3. Potenzfunktionen finden
  2. Symmetrie
    1. Konstruktion der Punktspiegelung am Ursprung
    2. Untersuchung auf Symmetrie
  3. Nullstellen
    1. Koeffizienten einstellen
    2. Verlauf und Lage der Nullstellen
  4. Extrema
    1. Extremstellen einstellen
  5. Wendepunkte
    1. Wendestellen schieben
  6. Zusammenfassung
    1. Einstellen der Koeffizienten einer vorgegebenen ganzrationalen Funktion

1.

Verlauf und Potenzfunktionen

  • 1. Vergleich ganzrationale Funktion mit Potenzfunktionen
  • 2. Verlauf von Potenzfunktionen
  • 3. Potenzfunktionen finden

1.1.

Vergleich ganzrationale Funktion mit Potenzfunktionen

Die Diagramme zeigen eine ganzrationale Funktion [i]f[/i] (blau), deren Grad mit dem Schieberegler "Grad" festgelegt wird. Dazu wird die Potenzfunktion [i]p[/i] mit gleichem Grad und Leitkoeffizienten dargestellt. Beginne mit dem Grad 2. Die Koeffizienten a0 und a1 sind auf den Wert 0 voreingestellt. Die Graphen von [i]f[/i](x) und [i]p[/i](x) sind zunächst identisch. Verändere den Graph von f mit den Parameterna0 und a1. Untersuche anschließend die Abweichung zwischen [i]p[/i] und [i]f[/i] für sehr kleine und sehr große Werte von x, indem du den Darstellungsbereich mit der Maus vergrößerst.

Beschreibe, wie stark sich Änderungen der Parameter a0 und a1 auf den Verlauf des Graphen auswirken!
– Matthias Tillmann

1.2.

–

1.3.

–

2.

Symmetrie

  • 1. Konstruktion der Punktspiegelung am Ursprung
  • 2. Untersuchung auf Symmetrie

2.1.

Konstruktion der Punktspiegelung am Ursprung

Setze den Punkt P an eine beliebige Stelle. Wähle dann "Abspielen".

Zur Wiederholung mit einem anderen Punkt: Zurück auf Start.
– Matthias Tillmann

2.2.

–

3.

Nullstellen

  • 1. Koeffizienten einstellen
  • 2. Verlauf und Lage der Nullstellen

3.1.

Koeffizienten einstellen

Stelle im folgenden Applet folgende Parameter ein:[br][br] Starte mit Grad 2. Beobachte die Auswirkung der Parameter auf die Lage und Form der Parabel. Wie viele Nullstellen kannst du erzeugen? Protokolliere deine Beobachtungen![br] Erhöhe den Grad auf 3. Führe damit die gleichen Untersuchungen durch. [br] Wie viele Extrema kannst du erzeugen? Wie viele Wendepunkte? Gibt es eine Mindestanzahl oder eine maximale Anzahl?[br] Untersuche ebenso Polynomfunktionen vom Grad 4 und 5.
Koeffizienten einstellen
– Matthias Tillmann

3.2.

–

4.

Extrema

  • 1. Extremstellen einstellen

4.1.

Extremstellen einstellen

Mit den Schiebereglern kannst du den Grad einer ganzrationalen Funktion einstellen. Es erscheinen darauf eine passende Anzahl von Schiebereglern für die Extremstellen. Mit Shift+Mausrad kann man die Ansicht vergrößern/verkleinern. Ein Klick auf das Symbol oben rechts setzt die Ansicht auf den ursprünglichen Zustand zurück.

Verändere nun die Lage der Extremstellen und beobachte den Einfluss auf den Verlauf des Graphen. Notiere deine Beobachtungen. Was passiert, wenn zwei Extremstellen an der gleichen Stelle liegen? Was passiert, wenn du noch mehr Extremstellen auf die gleiche Stelle legst? Formuliere eine Regel!
– Matthias Tillmann

5.

Wendepunkte

  • 1. Wendestellen schieben

5.1.

Wendestellen schieben

Mit den Schiebereglern kannst du die Anzahl der Wendepunkte einer ganzrationalen Funktion einstellen. Es erscheinen darauf eine passende Anzahl von Schiebereglern für die Wendestellen. Mit Shift+Mausrad kann man die Ansicht vergrößern/verkleinern. Ein Klick auf das Symbol oben rechts setzt die Ansicht auf den ursprünglichen Zustand zurück.

Verschiebe nun die Lage der Wendestellen und beobachte den Einfluss auf den Verlauf des Graphen. Notiere deine Beobachtungen. Was passiert, wenn du mehrere Wendestellen auf die gleiche Stelle schiebst?
– Matthias Tillmann

6.

Zusammenfassung

übungen, in denen alle vorangegangenen Kapitel im Zusammenhang trainiert werden.

  • 1. Einstellen der Koeffizienten einer vorgegebenen ganzrationalen Funktion

6.1.

Einstellen der Koeffizienten einer vorgegebenen ganzrationalen Funktion

– Matthias Tillmann

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