Zu einer selbstadjungierten komplex-linearen Abbildung [math]\mathbf\mathit{S}:\mathbf\mathcal{G}\longrightarrow\mathbf\mathcal{G}[/math] untersuchen wir das charakteristische Polynom [math] p_\mathbf\mathit{S}(z)=\mathbf{det}\left(\mathbf\mathit{S}-z\cdot\mathbf{Id}\right)=z^3-Spur(\mathbf\mathit{S})\cdot z^2+g_2\cdot z-\mathbf{det}(\mathbf\mathit{S})[/math].[br]Da durch [math]w\cdot\left(\mathbf\mathit{S}-c\cdot\mathbf{Id}\right)[/math] dasselbe quadratische Vektorfeld gegeben ist, von gemeinsamen Umnormierungen [math]c,w\in\mathbb{C}[/math] abgesehen, können wir [math]Spur(\mathbf\mathit{S})=0[/math] erreichen. Dann ist[br][list][*][math]p_\mathbf\mathit{S}\left(z\right)=z^3+\mathbf{g}_2\left(\mathbf\mathit{S}\right)\cdot z-\mathbf{g}_3\left(\mathbf\mathit{S}\right)[/math] mit [math]\mathbf{g}_3(\mathbf\mathit{S})=\mathbf{det}\left(\mathbf\mathit{S}\right)[/math] das charakteristische Polynom von [math]\mathbf\mathit{S}[/math].[/*][/list]Kurze Analyse dieser Invarianten: sind [math]w_1,w_2,w_3[/math] die Eigenwerte von [math]\mathbf\mathit{S}[/math], so gilt für die Diskriminante von [math]\mathbf\mathit{S}[/math]:[br][list][*][math]\Delta\left(\mathbf\mathit{S}\right)=-4\cdot g_2\,^3-27\cdot g_3\,^2=\prod_{i-j}\left(w_i-w_j\right)^2[/math][br][/*][/list](v.d.Waerden [b][WAER][/b]). Ist [math]\Delta(\mathbf\mathit{S})=0[/math], so besitzt [math]\mathbf\mathit{S}[/math] höchstens 2 verschiedene Eigenwerte. [br]Ist [math]\Delta\left(\mathbf\mathit{S}\right)\ne 0[/math], so ist die komplexe Zahl [list][*][math]J(\mathbf\mathit{S}):=-\frac{4\cdot g_2\left(\mathbf\mathit{S}\right)^3}{\Delta\left(\mathbf\mathit{S}\right)}[/math][br][/*][/list]eine absolute Invariante von [math]\mathbf\mathit{S}[/math], und damit eine absolute Invariante des quadratischen Vektorfeldes. Welcher Zusammenhang besteht zu der absoluten Invariante der Brennpunkten?[br]Es sei zunächst die Situation für 4 [i][b]verschiedene[/b][/i] Brennpunkte betrachtet. Die 4 Punkte werden in [i][b]Normalform[/b][/i] untersucht, dh. in einem euklidischen KOS, in welchem sie die komplexen [i][b]Gauss[/b] [/i]-Koordinaten [math]f,-f,\mbox{ und }\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math] besitzen (man vergleiche hierzu die Abschnitte [b]4.3[/b], [b]4.5[/b] und [b]4.6[/b]).[br]In dem Quadrik-Büschel [math]w\cdot\left(\mathbf\mathit{S}-c\cdot\mathbf{Id}\right)[/math] liegt die zerfallende Form [math]{\mathbf\mathit{\tilde{S}}}=[\mathbf\vec{p}(f),\mathbf\vec{p}(-f)]\vee[\mathbf\vec{p}(1/f),\mathbf\vec{p}(-1/f)][/math], die aus den Verbindungsgeraden der komplexen Brennpunkte besteht. [br]Als [i][b]Matrix[/b][/i] stellen wir diese quadratische Form mit Hilfe der ON-Basis [math]\mathbf\vec{e}_1=i\cdot\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{e}_2=i\cdot\mathbf\vec{g}_0,\mathbf\vec{e}_3=i\cdot\mathbf\vec{g}_i[/math] dar. Die ON-Basis besteht aus den Polargeraden der Koordinatenachsen im Raum, das sind die Verbindungsgeraden von -1 und +1, bzw. 0 und [math]\infty[/math], bzw. -i und i. [br]Man erhält die 3x3-Matrix [math]\mathbf{M}_\mathbf\mathit{\tilde{S}}\left(f\right)=\left(\mathbf\mathit{\tilde{S}}\mathbf\vec{e}_i\bullet\mathbf\vec{e}_j\right)[/math] von [math]\mathbf\mathit{\tilde{S}}[/math]:[br][list][math]\mathbf{M}_\mathbf\mathit{\tilde{S}}\left(f\right)= -\frac{1}{4f^2} \cdot \left( \begin{tabular} {c c c} \left(f^2+1\right)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \left(f^2-1\right)^2 \end{tabular}\right)\mbox{; }\mathbf{M}_\mathbf\mathit{\tilde{S}112}= \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{tabular} {c c c} 2 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{tabular}\right)\mbox{; }\mathbf{M}_\mathbf\mathit{\tilde{S}13}=\frac{1}{2} \cdot \left( \begin{tabular} {c c c} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -i \\ 0 & -i & 0 \end{tabular}\right)[/math] [/list]Wir haben die Fälle: zwei 1-fache, ein 2-facher Brennpunkt, bzw. ein 1-facher, ein 3-facher Brennpunkt gleich mit aufgeführt. [br]Wählen wir -1, -1 als einfache, und [math]\infty[/math] als doppelten Brennpunkt, so ist [math]\mathit{\mathbf{\tilde{S}}112}=\mathbf\vec{g}_1\vee\mathbf\vec{p}_\infty[/math],[br]wählen wir 0 als einfachen und [math]\infty[/math] als 3-fachen Brennpunkt, so ist [math]\mathit{\mathbf{\tilde{S}}13}=\mathbf\vec{g}_0\vee\mathbf\vec{p}_\infty[/math] jeweils eine geeignete zerfallende quadratische Form mit den oben angegebenen Matrizen.[br]Die zugehörigen Matrizen [math]\mathbf{M}_0=\mathbf{M}-\frac{1}{3}\mathbf{Spur}\left(\mathbf{M}\right)\cdot \mathbf{Id}[/math] mit Spur 0 sind dann[br][list][math]\mathbf{M}_{\mathbf{\mathit{S}}_0}\left(f\right)= -\frac{1}{4f^2} \cdot \left( \begin{tabular} {c cc} \left(f^4+6f^2+1\right) & 0 & 0 \\ 0 & -2\,\left(f^4+1\right) & 0 \\ 0 & 0 & \left(f^4-6f^2+1\right) \end{tabular}\right)[/math][br]und [math]\mathbf{M}_{\mathbf{\mathit{S}}_0112}= -\frac{1}{6} \cdot \left( \begin{tabular} {c c c} -4 & 0 & 3i \\ 0 & 2 & 0 \\ 3i & 0 & 2 \end{tabular}\right)\mbox{; }\mbox{ bzw. }\mathbf{M}_{\mathbf{\mathit{S}}_013}= \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{tabular} {c c c} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -i \\ 0 & -i & 0 \end{tabular}\right)[/math].[/list]Wir berechnen die charakteristischen Polynome:[br][list][math] p_\mathbf{\mathit{S_0\left(f\right)}}(z)=z^3+g_2\left(f\right)\cdot z-g_2\left(f\right)[/math], bzw. [math] p_\mathbf{\mathit{S_0112\left(f\right)}}(z)=z^3-\frac{1}{12} z+\frac{1}{108}[/math], bzw. [math] p_\mathbf{\mathit{S_013\left(f\right)}}(z)=z^3 [/math][/list]In den Fällen mit zusammenfallenden Brennpunkten ist die Diskriminante [math]\Delta\left(\mathbf{\mathit{S}\right)[/math] Null.[br]Für 4 verschiedene Brennpunkte berechnet man die Invarianten:[br][list][math] g_2\left(f\right)=-\frac{f^8+14f^4+1}{48f^4}[/math] und [math] g_3\left(f\right)=\frac{\left(f^4+1\right)\cdot\left(f^4+6f^2+1\right)\cdot\left(f^4-6f^2+1\right)}{864f^6}[/math][br][/list]und daraus die absolute Invariante[br][list][*][math]J(\mathbf{\mathit{S}}_0,f):=-\frac{4\cdot g_2\left(f\right)^3}{\Delta\left(\mathbf{\mathit{S}}_0\right)}=\frac{\left(f^8+14f^4+1\right)^3}{108f^4\cdot\left(f+1\right)^4\cdot\left(f-1\right)^4\cdot\left(f^2+1\right)^4}[/math][br][/*][/list]womit sich der in Frage stehende Zusammenhang mit der absoluten Invariante der Brennpunkte ergibt:[br][list][*][math]J(\mathbf{\mathit{S}}_0,f)-J\left(f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}\right)=1[/math][br][/*][/list]All diese Rechnungen sind händisch vielleicht etwas aufwendig, mit einer guten CAS-Software ergeben sich die Berechnungen blitzschnell.[br]Die hohen Potenzen, mit denen [math]f[/math] vorkommt - Zähler und Nenner sind in [math]f[/math] Polynome 24.ter Ordnung - sind einfach der Tatsache geschuldet, dass in einer euklidischen Normalform-Basis die [math]f[/math] mit gleicher Invariante invariant unter der [i][b]Oktaeder-Gruppe[/b][/i] ist (man vergleiche dazu Abschnitt [b]4.6[/b]).[br]Im Bild des vorliegenden Arbeitsblatt ist noch ein Zusammenhang zu den Invarianten der [b]Weierstrass[/b]schen [math]\wp[/math]-Funktion angedeutet: die [math]\wp[/math]-Funktion wird durch 2 Differentialgleichungen charakterisiert[br][list](1) [math]\wp'^2=4\left(\wp-e_1\right)\left(\wp-e_2\right)\left(\wp-e_3\right)[/math] bzw. (2) [math]\wp'^2=4\wp^3-g_2\wp-g_3[/math] mit [math]g_2:=60G_4[/math], [math]g_3:=140G_6[/math]. [/list]dabei sind [Zitat] "[math]e_1,e_2,e_3[/math] die Halbperiodenwerte und [math]G_4,G_6[/math] die Werte der Eisenstein-Reihen..." [[b]LAMO[/b]].[br]In unserem Zusammenhang sind [math]e_1,e_2,e_3[/math] und, nicht genannt, [math]\infty[/math] die Brennpunkte von [math]\wp[/math]. [br]Es handelt sich also im Wesentlichen um die obigen Invarianten.[br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]