Hat der Graph der Füllfunktion (Füllkurve) beim Übergang vom Kegel zum Zylinder einen Knick?

Aus der Lösung in ergibt sich für die Höhe des Wasserstands im Kegel: [math] h(t) = \sqrt[3]{ \frac{ 3cH_K^2 }{ R^2 \pi }·t }[/math].[br]Der Zeitpunkt, bei dem die Höhe [math]H_K[/math] des Kegels erreicht wird, ist [br][center][math] h = \sqrt[3]{ \frac{ 3c{H_K}^2 }{ R^2 \pi }·t } = H_K[/math][br][math] t = \frac{ H_K\cdot R^2 \pi }{ 3c } [/math] [/center]Die zeitliche Änderung der Höhe h kann man durch die Ableitung nach der Zeit t ermitteln:[br][center] [math] \frac{dh}{dt} = \left( \sqrt[3]{ \frac{ 3c{H_K}^2 }{ R^2 \pi }·t } \right)' = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{ 3c {H_K}^2 }{ R^2 \pi }·t \right)^{-\frac{2}{3} } \cdot \frac{ 3c {H_K}^2 }{ R^2 \pi } [/math][/center]Zum Zeitpunkt, zu dem der Wasserstand die Höhe H des Kegels erreicht hat, ist die Änderung[br][center] [math] \frac{dh}{dt} \left( \frac{ H_K \cdot R^2 \pi }{ 3c } \right) = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{ 3c {H_K}^2 }{ R^2 \pi }· \frac{ H_K \cdot R^2 \pi }{ 3c } \right)^{-\frac{2}{3} } \cdot \frac{ 3c {H_K}^2 }{ R^2 \pi } =...= \frac{ c }{ R^2 \pi } [/math][/center]Und dies entspricht genau der Änderung der Höhe h im Zylinder[br][center][math]V_{Zyl} \left(t\right)=R^2\pi\cdot h\left(t\right)=c\cdot t[/math][br][math]h(t)=\frac{c}{R^2\pi}\cdot t[/math][br][math]\frac{dh}{dt}=\frac{c}{R^2\pi}[/math][/center]Somit sind die zeitlichen Änderungen der Höhe des Wasserstands beim Übergang vom Kegel in den Zylinder gleich groß.