Von der Normalverteilung zur Standardnormalverteilung

Aufgabe 10

Statt in jeder Aufgabe neu den Term für die Dichte der Normalverteilung anzupassen und das Integral mittels Rechner ungefähr bestimmen zu lassen, kann man auch die Verteilungen standardisieren. (Vergleiche dazu Neue Wege 11/12 vom Schroedel Verlag S. 492-494 im Druck A1, 2012) [br][br]Experimentieren Sie mit dem Applet und geben Sie eine Prognose an, welche Operationen man für eine geeignete Standardisierung durchführen muss d.h. welche Rechenschritte auf die Funktionswerte angewendet werden müssen, um die rosa Treppenfunktion an die blaue Glockenkurve anzupassen.

Aufgabe 11

Der Graph der Funktion [math]\phi\left(x\right)[/math] heißt [b]Glockenkurve[/b]. Nach dem Mathematiker De-Moivre-Laplace gilt (unter der LaPlace-Bedingung) für eine binomialverteilte Zufallsvariable X:[br][math]P\left(X\le k\right)=F_{n;p}\left(k\right)\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^z_{-\infty}e^{-\frac{1}{2}t^2}dt[/math] mit [math]z=\frac{k-\mu+0,5}{\sigma}[/math][br][br]Da der Wert des Integral mühsam per Hand zu lösen ist (bzw. keine elementar bestimmbare Stammfunktion berechenbar ist), ist es üblich, stattdessen[math]P\left(X\le k\right)=\phi\left(\frac{k-\mu+0,5}{\sigma}\right)=\phi\left(z\right)[/math] zu schreiben. Die Werte der Funktion [math]\phi\left(z\right)[/math] kann man in einer Tabelle nachschlagen.[br][br]Erläutern Sie:[br]- Warum kann mit dem Integral keine exakte Wahrscheinlichkeit bestimmt werden?[br]- Warum wird die obere Grenze so wie angegeben berechnet?[br]- Im Speziellen für Leistungsstarke: Warum addiert man das Korrekturglied hier, statt es zu subtrahieren?

Aufgabe 12

Es soll im folgenden die Wahrscheinlichkeit [math]P\left(X\le40\right)[/math]für eine binomialverteilte Zufallsvariable X mit n=100 und p=0,3 mittels Normalverteilung bestimmt werden. [br][br]Kreuzen Sie die richtigen Teilschitte an. (Die Tabelle aus dem Focus Mathematik nutzen.)

Ich setze [math]\mu[/math] und [math]\sigma[/math] in den Term der Dichte ein und lasse das Integral von meinem Taschenrechner berechnen. Der Erwartungswert der untersuchten Verteilung ist 30, die Varianz 21. Zum Aufstellen der Standardnormalverteilung benötige ich Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariable. In der Tabelle kann man für Werte von z zwischen -3,49 und +3,49 passende Wahrscheinlichkeiten ablesen. In der Tabelle kann man nur für Werte zwischen 5 und 9998 für z ablesen. z ist 0,452 Zunächst zeichne ich beide Verteilungen. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist 0,6915. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist größer als 0,98. In der Tabelle kann man nur für negative Werte von z Wahrscheinlichkeiten ablesen. z ist 2,29. Ich berechne z mit der Formel.

Lösungshinweise zu 12

Wenn Sie Schwierigkeiten mit Aufgabe 12 haben, können Sie sich die Lösung mittels "Überprüfen" anzeigen lassen.

Aufgabe 13

Notieren Sie eventuelle weitere Fragen. [br]Lösen Sie die Aufgaben aus Buch (Fokus Mathematik): S. 459 Nr. 1, 2, 4, 6, 8.