OZO: Fractalen en fractale dimensie
Table of Contents
- Fractalen
- Fractalen en kustlijnen
- Droste-effect
- Definitie
- Voorbeeld: de Cantor-set
- Cantor-set
- Fractale dimensie
- Voorbeeld: de Boom van Pythagoras
- Pythagoras-boom
- Pythagoras-boom
- Fractale dimensie van de Boom van Phytagoras
- Opdracht: Koch-kromme
- Koch-kromme
- Koch-kromme
- Opdracht: Levy-Kromme
- Levy-Kromme
- Levy-Kromme
- Opdracht: Sierpinski-driehoek
- Sierpinski-driehoek
- Sierpinski-driehoek
- Opdracht: Menger-tapijt
- Menger-tapijt
- Menger-tapijt
- Opdracht: Spons van Menger
- Spons van Menger
Fractalen en kustlijnen
Kustlijn van Brittannië
Benoît Mandelbrot boog zich over de vraag: "Hoe lang is de kust van Groot-Brittannië?" Een simpele vraag, lijkt het, dat kon hij toch gewoon in elke atlas of naslagwerk terugvinden. Het eigenaardige was dat de afmetingen die hij terugvond, heel erg verschilden. Mandelbrot ontdekte dat de gevonden lengte afhangt van de lengte van je meetlat. Of je een rechte paal van 1m in centimeter of in decimeter meet, hij zal altijd even lang zijn, maar bij de lengte van de kust ging dat niet langer op.[br][br][br]
Neem je een meetlat van 250 km, dan kan je heel moeilijk de onregelmatigheden volgen van de kust. Met een meetlat van 200 km kan dat al beter, met een van 150 km nog beter. Het lijkt alsof de kustlijn[br]steeds langer wordt. Je zou denken dat je de 'juiste' lengte steeds beter benadert door je meetlat te verfijnen, maar de lengte blijft integendeel onbeperkt toenemen. Ze lijkt heel grillig en oneindig lang, al is ze beperkt. Wanneer je op een landkaart kijkt naar een kustlijn, zie je alleen de grootste inhammen. Op een meer gedetailleerde kaart zie je dat de inhammen zelf ook inhammen hebben, en op een nog meer gedetailleerde kaart hebben ook deze inhammen weer inhammen, enz. … Het is een kenmerk dat je ook bij fractalen zal terugvinden: telkens je erop inzoomt zie je dat eenzelfde patroon in een kleiner detail terug komt.
Cantor-set
We vertrekken van een lijnstuk met een gegeven lengte, bv. met lengte 1. [br]We verdelen het lijnstuk in 3 delen met gelijke lengte en nemen het middelste deel weg (stap 1). Op die manier verkrijgen we 2 lijnstukken waarvan de lengte met een factor 3 gereduceerd is. [br]We herhalen de procedure van stap 1 op de lijnstukken die behouden werden. Bij de 2[sup]de [/sup]stap hebben we zo 4 lijnstukken met een lengte gelijk aan 1/9 van de oorspronkelijke lengte. [br][br]We blijven nu de procedure steeds maar herhalen op de lijnstukken die behouden werden. Zo ontstaat een verzameling waarvan het aantal lijnstukjes naar oneindig gaat terwijl de lengte van die lijnstukjes naar 0 gaat. [br][br]Deze verzameling wordt de [b]Cantor-set[/b] genoemd (‘set’ is Engels voor ‘verzameling’ in wiskunde).
Elke close-up van een deel van deze verzameling (zie aangebracht kader) geeft steeds eenzelfde beeld.[br][br]Deze [i]zelfgelijkvormigheid[/i] is een typisch kenmerk van fractalen.[br] [br]Het woord ‘fractal’ betekent letterlijk: ‘gebroken’. Vanwaar deze naam? [br]Nemen we het voorbeeld van de Cantor-set. Bij de constructie spelen 2 getallen een rol:[br][br]- de [b]reductiefactor[/b] r = 3 waarmee de lengte van het lijnstuk wordt verkleind.[br]- het [b]aantal[/b] lijnstukken n = 2 dat bij de volgende stap wordt behouden. [br][br]Met behulp van die getallen kan een fractaal gekarakteriseerd worden met een ‘fractaaldimensie’, die het mogelijk maakt te vergelijken met andere fractalen.[br]
Pythagoras-boom
[size=100][size=150]De [b]Boom van Pythagoras[/b] is gebaseerd op een van de bekendste wiskundige formules ooit: de som van de kwadraten van de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek is gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde. We illustreren de opbouw stap per stap.[/size][/size]
Basis: Vierkant.
[size=150]Stap 1: Op het vierkant zetten we een rechthoekige driehoek met de schuine zijde ertegenaan. Langs de rechthoekszijden tekent men opnieuw een vierkant. De stelling van Pythagoras zegt nu dat de totale oppervlakte van de twee kleinere vierkanten gelijk is aan de oppervlakte van het grote vierkant.[/size]
[size=150]Stap 2: we herhalen de vorige stap voor elk van de twee nieuwe vierkanten. Opnieuw kunnen we de stelling van Pythagoras gebruiken: de totale oppervlakte van de vier kleinste vierkanten is gelijk is aan de oppervlakte van het grootste vierkant. Dit is dan weer gelijk aan de totale oppervlakte van de twee middelste vierkanten.[/size]
... Het resultaat is een fractaal die erg op een boom lijkt.
Koch-kromme
Bij de [b]kromme Van Koch[/b] vertrekt men van een lijnstuk, de basis genoemd. Die basis wordt dan verdeeld[br]in 3 gelijke stukken, het middelste wordt vervangen door een gelijkzijdige driehoek zonder basis. Deze figuur noemt men de generator. De volgende stappen zijn nu steeds analoog. Men beschouwt elk lijnstuk als een nieuwe basis en verdeelt die dan weer als voorheen.
Basis: basislijnstuk
Stap 1: opdelen in drie gelijke stukken, middelste vervangen door gelijkzijdige driehoek, basis weglaten.
Stap 2: we herhalen de vorige stap voor elk lijnstuk.
... Het uiteindelijke resultaat na 6 stappen:
Levy-Kromme
De [b]kromme van Lévy[/b] onstaat door het eenheidslijnstuk om te zetten in twee lijnstukken die samen een rechte hoek vormen. We illustreren dit stap per stap en duiden steeds duidelijk de startpunten van de lijnstukken aan, evenals de zin.
Basis: basislijnstuk.
Stap 1: opdelen in 2 stukken met rechte hoek.
Stap 2: we herhalen de vorige stap voor elk lijnstuk.
... Het uiteindelijke resultaat na meerdere stappen:
Sierpinski-driehoek
[size=150]De [b]zeef van Sierpinski[/b] verkrijgt men door één driehoek op te splitsen in drie congruente driehoeken. Vervolgens laat men de middelste weg, zodat er nog drie driehoekjes overblijven. Nu doet men ditzelfde weer bij deze overige drie driehoekjes, dan weer, dan weer,... De limiet noemt men de zeef van Sierpinski. Ze wordt ook wel eens de [i]Sierdriehoek[/i] genoemd (van Sierpinski-driehoek).[br]We illustreren dit stap per stap.[/size]
Basis: gelijkzijdige driehoek.
Stap 1: opdelen in vier gelijkzijdige driehoeken en middelste weglaten.
Stap 2: opdelen in vier gelijkzijdige driehoeken en middelste weglaten.
... Het resultaat na 5 stappen vindt u hieronder.
Menger-tapijt
Het [b]tapijt van Menger[/b] verkrijgt men door één vierkant op te splitsen in negen congruente vierkanten. Vervolgens laat men het middelste weg, zodat er nog acht vierkantjes overblijven. Nu doet men ditzelfde weer bij deze overige acht vierkantjes, dan weer, dan weer,... De limiet noemt men het tapijt van Menger. Deze fractaal is ook onder een handvol andere namen gekend: de spons van Sierpinski, de zeef van Menger, de Menger-fractaal. [br]We illustreren dit stap per stap.
Basis: basisvierkant.
Stap 1: opdelen in negen gelijke vierkanten en middelste weglaten.
Stap 2: elk vierkant weer opdelen in negen gelijke vierkanten en telkens middelste weglaten.
... Het resultaat na 5 stappen vindt u hieronder.
Spons van Menger
Invalid video URL:
Invalid video URL:
Invalid video URL: