垂足円＝９点円の拡張

Bunryu Kamimura, Apr 2, 2016

９点円を拡張すると、拡張された垂足三角形が現われ、等角共役点との関係が見えてきます。 そして、垂心と外心と内心の関係が浮かび上がってきます。 こうやって拡張すると、世界の見え方が違ってきますね。

Table of Contents

  1. 垂足円の定義
    1. 内心→垂心→外心
    2. 垂足円
    3. 垂足円の証明
  2. ９点円の拡張としての垂足円
    1. ９点円の拡張(垂足円）
    2. ９点円の拡張の証明
    3. 垂足円のつくる三角形と等角共役点
    4. 垂足円で作ったジェラベク双曲線上の心
    5. 垂足円と逆中点三角形
  3. 垂足円の性質
    1. 垂足円の拡張
    2. 重心Gの垂足円
    3. ジェルゴンヌ点とナーゲル点の垂足円
    4. 外心と重心の関係
    5. 外心と重心の関係（９組）
    6. 重外関係と等角共役
  4. 垂足円と直角双曲線
    1. 垂足円と内接円の交点
    2. キーペルト双曲線上の垂足円
    3. ジェラベク双曲線上の垂足円

1.

垂足円の定義

△ABCの等角共役点をP,P'とするとき，P,P'の垂足三角形は同一の円に内接する。この円をP, P'の垂足円といい、その中心はPP'の中点である。 この垂足円を使うと、いろいろできそうだ・・・と直感がささやきます。

  • 1. 内心→垂心→外心
  • 2. 垂足円
  • 3. 垂足円の証明

1.1.

内心→垂心→外心

Ｇは、△ＡＢＣの垂足三角形ＤＥＦの内心であり、△ＨＩＪの中点三角形ＡＢＣの垂心であり、△ＡＢＣの逆中点三角形ＨＩＪの外心である。[br]逆の方向から言えば、[br]Ｇは、△ＤＥＦの内心三角形ＫＬＭの外心であり、△ＫＬＭの接線三角形ＤＥＦの内心であり、△ＤＥＦの傍心三角形ＡＢＣの垂心である。
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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2.

９点円の拡張としての垂足円

まず、 ９点円はPを外心、P'を垂心とする垂足円と見なすことができます。 そして、 垂足円を用いて、等角共役点を見つけることもできます。 今まで、角度から等角共役点を作図していましたが、垂足円から作図できます。とても便利です。

  • 1. ９点円の拡張(垂足円）
  • 2. ９点円の拡張の証明
  • 3. 垂足円のつくる三角形と等角共役点
  • 4. 垂足円で作ったジェラベク双曲線上の心
  • 5. 垂足円と逆中点三角形

2.1.

９点円の拡張(垂足円）

一点Dから各辺に垂線を下ろして、その垂足で円を作成すると辺と交わる点が出来る。[br]その３点から、垂線を上げると、一点で交わり、その点はDの等角共役点となる。[br]この円（垂足円）は、９点円の拡張になっている。[br]また、これを使って簡単に等角共役点が作図できる。[br]それぞれの垂線の足で三角形を作図すると、垂足三角形と中点三角形が同じモノだとわかる。
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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3.

垂足円の性質

垂足円を調べていくと、様々な面白い性質が見つかってきます。 特に三角形の「心」との関係で、面白いことが見つかりました。 そして、そこにも三角形双曲線が関係しているようです。

  • 1. 垂足円の拡張
  • 2. 重心Gの垂足円
  • 3. ジェルゴンヌ点とナーゲル点の垂足円
  • 4. 外心と重心の関係
  • 5. 外心と重心の関係（９組）
  • 6. 重外関係と等角共役

3.1.

垂足円の拡張

Ｄを傍心に動かしてみよう
垂足円を三角形の外側に持ってくると、
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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3.6.

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4.

垂足円と直角双曲線

垂足円の性質を調べていたら、 外心と重心の関係の図で、垂足円が一点で交わっている様に見えます。 どういうときに一点で交わるのだろうかと調べると、３双曲線上に等角共役点があるときということがわかってきました。 とても不思議です。

  • 1. 垂足円と内接円の交点
  • 2. キーペルト双曲線上の垂足円
  • 3. ジェラベク双曲線上の垂足円

4.1.

垂足円と内接円の交点

何とも不思議なことに、等角共役点Dがフォイエルバッハ双曲線上にある垂足円は、フォイエルバッハ点Foを通る。Dを右クリックしてアニメーションをチェック。垂足円の大きさは変わっているのに、フォイエルバッハ点は動いていない。なぜだろうか？⇒キーペルトやジェラベクの場合は他の一点を通る。
– Bunryu Kamimura

4.2.

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4.3.

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