Es sei [math]\large\mathcal{U} [/math] ein komplex 2-dimensionaler Unterraum von [math]\large\mathcal{G} [/math], auf welchem die Form [math]\bullet[/math] nicht ausgeartet ist: [br]für je zwei verschiedene [math]\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}\in \large\mathcal{U} [/math] ist die [i]Diskriminante[/i] [math]\Delta\left(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}\right)={\mathbf\vec{g}_{1}}^2\cdot {\mathbf\vec{g}_{2}}^2-(\mathbf\vec{g}_{1}\bullet \mathbf\vec{g}_{2})^2\ne0[/math].[br] [math]\large\mathcal{U} [/math] enthält daher 2 verschiedene isotrope Vektoren. [br]Somit kann man eine euklidische Basis [math]\mathbf\vec{p}_{_\infty}, \mathbf\vec{g}_{0},\mathbf\vec{p}_0[/math] so wählen, dass [math]\mathcal{U} =\ll\mathbf\vec{p}_{_\infty},\mathbf\vec{p}_0\gg_\mathbb{C}\mbox{ und }\mathbf\vec{g}_{0}\, \bot\;\mathcal{U}[/math] ist.[br]Für je zwei verschiedene [math]\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}\in \large\mathcal{U} [/math] mit [math] \mathbf\vec{g}_{i}^2\ne0, i=1,2[/math] ist dann das Doppelverhältnis[br][list][*][math] \mathbf{Dv}(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2},\mathbf\vec{p}_\infty,\mathbf\vec{p}_0)=\frac{\mathbf{Det}(\mathbf\vec{g}_{0},\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{p}_\infty)}{\mathbf{Det}(\mathbf\vec{g}_{0},\mathbf\vec{g}_2,\mathbf\vec{p}_\infty)} \cdot \frac{\mathbf{Det}(\mathbf\vec{g}_{0},\mathbf\vec{g}_2,\mathbf\vec{p}_0)}{\mathbf{Det}(\mathbf\vec{g}_{0},\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{p}_0)}:=d(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2})[/math][br][/*][/list]unabhängig von der komplexen Skalierung der beteiligten Vektoren, und es ist [math]d(\mathbf\vec{g}_{2}, \mathbf\vec{g}_{1})=\frac{1}{d(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2})}[/math].[br]Wir können für die nicht-isotropen Vektoren aus [math]\large\mathcal{U} [/math] inhomogene Koordinaten wie folgt wählen: [br][math]\mathbf\vec{g}_{i}=w_i\cdot \mathbf\vec{p}_\infty-2\cdot \mathbf\vec{p}_0, \mbox{ mit }w_i=\rho\cdot e^{i\cdot\phi}\in \mathbb{C}^*,\;i=1,2[/math]. [br]Die Pole der Vektoren ergeben sich aus den Gleichungen[br] [math]\mathbf\vec{g}_{i}\bullet \mathbf\vec{p}(z)=0[/math]: [math] z_{i1}=\sqrt{w_i}=\sqrt{\rho} \cdot e^{i\cdot \frac{\phi}{2}},\; z_{i2}=-z_{i1},\; i=1,2[/math].[br]Mit diesen inhomogenen Koordinaten erhält man: [math]d(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2})=\frac{w_2}{w_1}\mbox{ und }\mathbf{Dv}(z_{11},z_{21},\infty,0)=\frac{z_{21}}{z_{11}}=\sqrt{\frac{w_2}{w_1}}[/math].[br]Die Invariante [math]\mu(z_{11},z_{21}):=\mathbf{ln}\left(\mathbf{Dv}\left(z_{11},z_{21},\infty,0\right)\right)[/math] besitzt eine interessante möbiusgeometrische Bedeutung: [br]Die Möbius-W-Bewegung [math]\mathbf{exp}\left( t\cdot \mu\left(z_{11},z_{21}\right)\right)\cdot z_{11},\,t\in \mathbb{R} [/math] bewegt den Punkt [math]z_{11}[/math] zum Punkt [math]z_{21}[/math] für [math]t=0[/math] bis [math]t=1[/math].[br]Man könnte vage sagen, dass [math]\mu(z_{12},z_{21})[/math] die möbiusgeometrische Entfernung von [math]z_{11}[/math] zu [math]z_{21}[/math] beschreibt. [br]Die Bewegung ist für reelles [math]\mu[/math] eine Streckung, für imaginäres [math]\mu[/math] eine Drehung und sonst eine [br]Drehstreckung, als Kurve entsteht dann eine logarithmische Spirale. [br]Sinnvoll ist diese Deutung nur von den Fixpunkten 0 und [math]\infty[/math] aus betrachtet![br][list][*][math]\mu[/math] ist additiv: [math]\mu(z_{11},z_{21})+\mu(z_{21},z_{31})=\mu(z_{11},z_{31})[/math]. Dies ist der Fall, weil die Drehstreckungen [br]um 0, [math]\infty[/math] eine kommutative Untergruppe der Möbiustransformationen bilden.[/*][br][*]In der [i]hyperbolischen[/i], wie in der [i]elliptischen[/i] Ebene wird durch [math]\left|\mu\left(z_{\left \{11\right\}},z_{\left\{21\right\}}\right)\right|[/math] [br]tatsächlich der hyperbolische , bzw. der elliptische Abstand gemessen! Siehe 5.4 und 5.5.[br][/*][/list][br][u][b][i]Berechnung[/i] [/b][/u]von [math]\mathbf\vec{p}_{_\infty}, \mathbf\vec{g}_{0},\mathbf\vec{p}_0\mbox{ und }d(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2})[/math]:[br]Unter der Voraussetzung [math]{\mathbf\vec{g}_{1}}^2\ne0,\;{\mathbf\vec{g}_{2}}^2\ne0\mbox{ und }\Delta\left(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}\right)={\mathbf\vec{g}_{1}}^2\cdot {\mathbf\vec{g}_{2}}^2-(\mathbf\vec{g}_{1}\bullet \mathbf\vec{g}_{2})^2\ne0[/math] [br]besitzt die Gleichung [math]\left(u\cdot \mathbf\vec{g}_{1}+\mathbf\vec{g}_{2}\right)^2=0[/math] die Lösungen [math]u_{1/2}=\frac{-\mathbf\vec{g}_{1}\bullet \mathbf\vec{g}_{2}\pm\sqrt{-\Delta\left(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}\right)}}{{\mathbf\vec{g}_{1}}^2}[/math]; [br]hiermit erhält man [math]\mathbf\vec{p}_{_\infty}, \mathbf\vec{p}_0[/math] und als Invariante von [math]\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}[/math][br][list][*] [math]d(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2})=\frac{u_2}{u_1}=\frac{\mathbf\vec{g}_{1}\bullet \mathbf\vec{g}_{2}+\sqrt{-\Delta\left(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}\right)}}{\mathbf\vec{g}_{1}\bullet \mathbf\vec{g}_{2}-\sqrt{-\Delta\left(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}\right)}}[/math]. [br][/*][/list][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]

Es sei [math]\large\mathcal{U} [/math] ein komplex 2-dimensionaler Unterraum von [math]\large\mathcal{G} [/math], auf welchem die Form [math]\bullet[/math] nicht ausgeartet ist: [br]für je zwei verschiedene [math]\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}\in \large\mathcal{U} [/math] ist die [i]Diskriminante[/i] [math]\Delta\left(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}\right)={\mathbf\vec{g}_{1}}^2\cdot {\mathbf\vec{g}_{2}}^2-(\mathbf\vec{g}_{1}\bullet \mathbf\vec{g}_{2})^2\ne0[/math].[br] [math]\large\mathcal{U} [/math] enthält daher 2 verschiedene isotrope Vektoren. [br]Somit kann man eine euklidische Basis [math]\mathbf\vec{p}_{_\infty}, \mathbf\vec{g}_{0},\mathbf\vec{p}_0[/math] so wählen, dass [math]\mathcal{U} =\ll\mathbf\vec{p}_{_\infty},\mathbf\vec{p}_0\gg_\mathbb{C}\mbox{ und }\mathbf\vec{g}_{0}\, \bot\;\mathcal{U}[/math] ist.[br]Für je zwei verschiedene [math]\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}\in \large\mathcal{U} [/math] mit [math] \mathbf\vec{g}_{i}^2\ne0, i=1,2[/math] ist dann das Doppelverhältnis[br][list][*][math] \mathbf{Dv}(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2},\mathbf\vec{p}_\infty,\mathbf\vec{p}_0)=\frac{\mathbf{Det}(\mathbf\vec{g}_{0},\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{p}_\infty)}{\mathbf{Det}(\mathbf\vec{g}_{0},\mathbf\vec{g}_2,\mathbf\vec{p}_\infty)} \cdot \frac{\mathbf{Det}(\mathbf\vec{g}_{0},\mathbf\vec{g}_2,\mathbf\vec{p}_0)}{\mathbf{Det}(\mathbf\vec{g}_{0},\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{p}_0)}:=d(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2})[/math][br][/*][/list]unabhängig von der komplexen Skalierung der beteiligten Vektoren, und es ist [math]d(\mathbf\vec{g}_{2}, \mathbf\vec{g}_{1})=\frac{1}{d(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2})}[/math].[br]Wir können für die nicht-isotropen Vektoren aus [math]\large\mathcal{U} [/math] inhomogene Koordinaten wie folgt wählen: [br][math]\mathbf\vec{g}_{i}=w_i\cdot \mathbf\vec{p}_\infty-2\cdot \mathbf\vec{p}_0, \mbox{ mit }w_i=\rho\cdot e^{i\cdot\phi}\in \mathbb{C}^*,\;i=1,2[/math]. [br]Die Pole der Vektoren ergeben sich aus den Gleichungen[br] [math]\mathbf\vec{g}_{i}\bullet \mathbf\vec{p}(z)=0[/math]: [math] z_{i1}=\sqrt{w_i}=\sqrt{\rho} \cdot e^{i\cdot \frac{\phi}{2}},\; z_{i2}=-z_{i1},\; i=1,2[/math].[br]Mit diesen inhomogenen Koordinaten erhält man: [math]d(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2})=\frac{w_2}{w_1}\mbox{ und }\mathbf{Dv}(z_{11},z_{21},\infty,0)=\frac{z_{21}}{z_{11}}=\sqrt{\frac{w_2}{w_1}}[/math].[br]Die Invariante [math]\mu(z_{11},z_{21}):=\mathbf{ln}\left(\mathbf{Dv}\left(z_{11},z_{21},\infty,0\right)\right)[/math] besitzt eine interessante möbiusgeometrische Bedeutung: [br]Die Möbius-W-Bewegung [math]\mathbf{exp}\left( t\cdot \mu\left(z_{11},z_{21}\right)\right)\cdot z_{11},\,t\in \mathbb{R} [/math] bewegt den Punkt [math]z_{11}[/math] zum Punkt [math]z_{21}[/math] für [math]t=0[/math] bis [math]t=1[/math].[br]Man könnte vage sagen, dass [math]\mu(z_{12},z_{21})[/math] die möbiusgeometrische Entfernung von [math]z_{11}[/math] zu [math]z_{21}[/math] beschreibt. [br]Die Bewegung ist für reelles [math]\mu[/math] eine Streckung, für imaginäres [math]\mu[/math] eine Drehung und sonst eine [br]Drehstreckung, als Kurve entsteht dann eine logarithmische Spirale. [br]Sinnvoll ist diese Deutung nur von den Fixpunkten 0 und [math]\infty[/math] aus betrachtet![br][list][*][math]\mu[/math] ist additiv: [math]\mu(z_{11},z_{21})+\mu(z_{21},z_{31})=\mu(z_{11},z_{31})[/math]. [br]Dies ist der Fall, weil die Drehstreckungen um 0, [math]\infty[/math] [br]eine kommutative Untergruppe der Möbiustransformationen bilden.[/*][br][*]In der [i]hyperbolischen[/i], wie in der [i]elliptischen[/i] Ebene wird durch [math]\left|\mu\left(z_{\left \{11\right\}},z_{\left\{21\right\}}\right)\right|[/math] [br]tatsächlich der hyperbolische , bzw. der elliptische Abstand gemessen! Siehe 5.4 und 5.5.[br][/*][/list][br][u][b][i]Berechnung[/i] [/b][/u]von [math]\mathbf\vec{p}_{_\infty}, \mathbf\vec{g}_{0},\mathbf\vec{p}_0\mbox{ und }d(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2})[/math]:[br]Unter der Voraussetzung [math]{\mathbf\vec{g}_{1}}^2\ne0,\;{\mathbf\vec{g}_{2}}^2\ne0\mbox{ und }\Delta\left(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}\right)={\mathbf\vec{g}_{1}}^2\cdot {\mathbf\vec{g}_{2}}^2-(\mathbf\vec{g}_{1}\bullet \mathbf\vec{g}_{2})^2\ne0[/math] [br]besitzt die Gleichung [math]\left(u\cdot \mathbf\vec{g}_{1}+\mathbf\vec{g}_{2}\right)^2=0[/math] die Lösungen [math]u_{1/2}=\frac{-\mathbf\vec{g}_{1}\bullet \mathbf\vec{g}_{2}\pm\sqrt{-\Delta\left(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}\right)}}{{\mathbf\vec{g}_{1}}^2}[/math]; [br]hiermit erhält man [math]\mathbf\vec{p}_{_\infty}, \mathbf\vec{p}_0[/math] und als Invariante von [math]\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}[/math][br][list][*] [math]d(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2})=\frac{u_2}{u_1}=\frac{\mathbf\vec{g}_{1}\bullet \mathbf\vec{g}_{2}+\sqrt{-\Delta\left(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}\right)}}{\mathbf\vec{g}_{1}\bullet \mathbf\vec{g}_{2}-\sqrt{-\Delta\left(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}\right)}}[/math]. [br][/*][/list][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]