[b][size=150]Cominciamo con l'osservare che la funzione exp introdotta precedentemente (ossia la funzione esponenziale avente per base il numero di Nepero, quindi y=e[sup]x[/sup]) ha una importante proprietà: in ogni ascissa x=t ha come velocità proprio exp(t), ossia l'altezza e la velocità nel punto avente tale altezza coincidono. (vedi figura 2)[br][br]Per vedere ciò basta notare alcuni fatti cruciali:[br]( fa' riferimento al foglio [color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/GVyy2HDe]Trasformazioni fondamentali su una funzione esponenziale[/url][/color] )[br][/size]▶ [size=150]L[/size][size=150]a velocità di crescita in x=t di exp non è altro che la velocità in x=0[br]della funzione traslata orizzontalmente g(x)=exp(x+t)[br]ottenuta da exp per traslazione a sinistra di spostamento t.[br][/size][size=150]▶ [size=150]La funzione g(x) = exp(x+t) = e[sup]x+t[/sup] = e[sup]x[/sup]·e[sup]t[/sup] = e[sup]t[/sup]·exp(x) =[size=150][size=150] k·exp(x)[/size][/size][br]è ottenuta per stiramento verticale da exp con moltiplicatore verticale k=e[sup]t[/sup].[br][size=150]▶ [size=150]L[/size][/size]a funzione g(x)=[size=150][size=150][size=150][size=150]k·exp(x)[/size][/size][/size][/size] e la sua retta r' tangente in (0,g(1)) sono ricavate [br]per stiramento verticale da exp e dalla sua tangente r in (0,1), che è y=1+x,[br]pertanto la retta r' ha equazione y=[size=150][size=150][size=150][size=150]r'(x)=k·r(x)=[size=150][size=150][size=150][size=150]k·[/size][/size][/size][/size](1+x)=k+[size=150][size=150][size=150][size=150]k·[/size][/size][/size][/size]x.[br][size=150][size=150][size=150]▶ [size=150]Quindi la tangente in (t,exp(t)) a exp coincide con la tangente nel punto di ascissa 0[br]di g(x), che è y=[size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150]k+[size=150][size=150][size=150][size=150]k·[/size][/size][/size][/size]x[/size][/size][/size][/size][/size][/size]=[size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150]e[sup]t[/sup] [/size][/size]+[size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150]e[sup]t[/sup] [/size][/size]·[/size][/size][/size][/size]x, che ha appunto pendenza [size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150][size=150]e[sup]t[/sup] [/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size].[br]Tale retta passa sempre (ossia per ogni valore dato a t) per il punto (-1,0),[br]per cui la pendenza è visualizzata dal triangolo giallo.[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/b]

[b][size=150]Per trovare le rette tangenti a tutte le altre funzioni esponenziali in loro punti[br]basta osservare che la generica funzione f(x)=a[sup]x[/sup] è ottenuta come stiramento orizzontale f(x)=exp(m·x) da exp (e ricorda che tale m è il logaritmo naturale di a), per cui la retta tangente in (t,exp(t)) - che è ha pendenza exp(t) e passa appunto per (t,exp(t)), e quindi ha equazione y=exp(t)·(x-t)+exp(t) - diventa, con tale stiramento orizzontale, che la porta a diventare [/size][size=150][size=150]y=exp(t)·(mx-t)+exp(t)[/size][/size][size=150], la tangente a f(x) nel punto in cui tale stiramento porta (t,exp(t)), che è ( t/m , exp(t) ). Tale ultima retta ha pendenza m·exp(t).[br]Quindi la pendenza in x[sub]0[/sub]=t/m della retta tangente a f(x) è:[br] m·exp(t) = ln(a)·exp(m·x[sub]0[/sub]) = ln(a)·f(x[sub]0[/sub]) = ln(a)·a[sup]x[sub]0[/sub][/sup].[br][br]Per quanto riguarda la determinazione delle rette tangenti alla funzione inversa di f(x)=a[sup]x[/sup], che è detta "logaritmo in base a" ed è indicata con log[sub]a[/sub] ,[br]possiamo osservare che il punto di ascissa x[sub]0[/sub] della funzione g(x)=log[sub]a[/sub](x) è[br][/size][size=150]( x[sub]0[/sub] , log[sub]a[/sub](x[sub]0[/sub]) ) e tale punto è simmetrico rispetto alla bisettrice principale - ovvero la retta y=x - del punto [/size][size=150]( [size=150]log[sub]a[/sub](x[sub]0[/sub])[/size] , [size=150]x[sub]0[/sub][/size] )[/size][size=150] che sta sulla funzione f.[br]In tale ultimo punto la funzione f ha retta tangente di pendenza (come stabilito poco sopra):[br] ln(a) · f( [size=150][size=150]log[sub]a[/sub](x[sub]0[/sub]) [/size][/size]) = [size=150]ln(a)·[/size][size=150][size=150]x[sub]0[/sub][/size][/size] . [br]Ora osserva che due rette tra di loro simmetriche rispetto alla bisettrice principale (rette "inverse") hanno pendenze inverse[br](pensa alle formule y=m·x+q e x=m·y+q e al fatto che quest'ultima non è altro che y=(x-q)/m=(1/m)·x - q/m ), [br]per cui la retta tangente a g in [size=150]( x[sub]0[/sub] , log[sub]a[/sub](x[sub]0[/sub]) )[/size] ha pendenza inversa della retta tangente a in [size=150]( [size=150]log[sub]a[/sub](x[sub]0[/sub])[/size] , [size=150]x[sub]0[/sub][/size] )[/size], quindi ha pendenza inversa del numero [/size][size=150][size=150][size=150]ln(a)·[/size][size=150][size=150]x[sub]0[/sub][/size][/size][/size][/size][size=150] .[/size][size=150][br][br]Quindi la retta tangente a [/size][size=150][size=150]log[sub]a[/sub](x)[/size][/size][size=150] nel punto x=x[sub]0[/sub] ha pendenza: [math]\frac{1}{ln\left(a\right)\cdot x_0}[/math].[br][/size][/b]