[list=1][*]Da sich die Anzahl in jeder Zeitdauer, die der Halbwertszeit entspricht, halbiert, sind nach zweimal der Halbwertszeit nur noch ein Viertel der anfänglichen Fluor-18-Kerne vorhanden, d.h. nach ca. 220 min.[/*][*]Für eine Absenkung auf ein Promille benötigt man zehn Halbwertszeiten, da [math]\left(\frac{1}{2}\right)^{10}=\frac{1}{2^{10}}=\frac{1}{1024}[/math][br][/*][/list]

Die Halbwertszeit [math]T_{\frac{1}{2}}[/math] ist diejenige Zeit, nach der nur noch die Hälfte der Kerne vorhanden sind. Deshalb muss gelten:[br][br][math]N\left(T_{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\cdot N_0[/math][br][br]Setzt man [math]T_{\frac{1}{2}}[/math] in den Funktionsterm (Ansatz siehe oben) ein, muss also [math]\frac{1}{2}\cdot N_0[/math] herauskommen:[br][br][math]N_0\cdot e^{k\cdot T_{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}\cdot N_0[/math][br][br]Daraus folgt:[br][br][math]e^{k\cdot T_{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}[/math][br][br][math]\Leftrightarrow\text{ }k\cdot T_{\frac{1}{2}}=\ln\left(\frac{1}{2}\right)[/math][br][br][math]\Leftrightarrow\text{ }k\cdot T_{\frac{1}{2}}=-\ln\left(2\right)[/math][br][br][math]\Leftrightarrow\text{ }k=\frac{-\ln\left(2\right)}{T_{\frac{1}{2}}}[/math][br][br]Dieser Zusammenhang zwischen der Halbwertszeit und der Wachstumskonstante gilt immer, und er ist sehr nützlich, da man meist [math]T_{\frac{1}{2}}[/math] kennt, zum Aufstellen der Funktion jedoch [i]k[/i] benötigt.[br][br]In unserem Fall gilt:[br][br][math]k=\frac{-\ln\left(2\right)}{109,771\text{ min}}\approx-6,3144\cdot10^{-3}\cdot\frac{1}{\text{min}}[/math]

Wenn wir bei unserer Zeiteinheit von 1 min bleiben, so ergibt die Angabe:[br][math]N\left(60\text{ min}\right)=N_0\cdot e^{-6,3144\cdot10^{-3}\cdot\text{min}^{-1}\cdot60\text{ min}}=5,39\cdot10^8[/math][br]Daraus folgt:[br][math]N_0=\frac{5,39\cdot10^8}{e^{-6,3144\cdot10^{-3}\cdot60}}\approx7,887\cdot10^8[/math][br]Und schließlich haben wir die Funktionsgleichung:[br][math]N\left(t\right)=7,887\cdot10^8\cdot e^{-6,3144\cdot10^{-3}\cdot\text{min}^{-1}\cdot t}[/math]

Im folgenden werden die Längen-, Volumen- und Zeiteinheiten weggelassen; Längen sind in Metern angegeben, Volumen in m³ und Zeiten in Stunden.[br][br]Die Erde ist in erster Näherung eine Kugel mit Radius [math]r_E=6,371\cdot10^6[/math][br]Ihr Volumen ist folglich: [math]V=\frac{4}{3}\pi\cdot r_E^3\approx1,0832\cdot10^{21}[/math][br][br]Das Volumen der Bakterienschicht erhält man, wenn man das Volumen der Erde ohne die Bakterienschicht abzieht vom Volumen mit Bakterienschicht:[br][math]V_B=\frac{4}{3}\pi\cdot\left(r_E+1\right)^3-\frac{4}{3}\pi\cdot r_E^3[/math][br][math]\Leftrightarrow\text{ }V_B=\frac{4}{3}\pi\cdot\left(3r_E^2+3r_E+1\right)[/math][br]Durch Einsetzen erhält man:[br][math]V_B\approx1,7002\cdot10^{14}[/math][br][br]Teilt man dieses Volumen durch das Volumen eines Bakteriums ([math]1\mu\text{m}^3=10^{-18}\text{ m}^3[/math]), erhält man die Anzahl der benötigten Bakterien:[br][math]N\left(t_{\text{ges}}\right)=\frac{1,7\cdot10^{14}}{10^{-18}}=1,7\cdot10^{32}[/math][br][br]Da sich die Bakterien stündlich teilen, müssen wir nur noch folgende Gleichung lösen:[br][math]2^{t_{\text{ges}}}=1,7\cdot10^{32}[/math][br]Daraus folgt:[br][math]t_{\text{ges}}=\log_2\left(1,7\cdot10^{32}\right)\approx107[/math][br][br]Antwort:[br]Nach weniger als fünf Tagen wäre die Erde mit einer 1 m dicken Schicht von Bakterien bedeckt.

Exponentielles Wachstum/Zerfall: [math]y=a\cdot e^{kx}[/math][br]Logarithmieren: [math]\ln\left(y\right)=\ln\left(a\cdot e^{kx}\right)\text{ }\Leftrightarrow\text{ }\ln\left(y\right)=\ln\left(a\right)+\ln\left(e^{kx}\right)\text{ }\Leftrightarrow\text{ }\ln\left(y\right)=\ln\left(a\right)+kx[/math][br]Trägt man nicht [i]y[/i] sondern ln([i]y[/i]) auf der vertikalen Achse auf, ergibt sich folglich eine Gerade mit Steigung [i]k[/i] und y-Achsenabschnitt ln([i]a[/i]).[br][img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/68/LogPapierYBeispiel.PNG[/img][br](Bild: Von Honina 2004, Gemeinfrei, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=32170064)[br][br]Potenzfunktion: [math]y=a\cdot x^n[/math][br]Logarithmieren: [math]\ln\left(y\right)=\ln\left(a\cdot x^n\right)\text{ }\Leftrightarrow\text{ }\ln\left(y\right)=\ln\left(a\right)+\ln\left(x^n\right)\text{ }\Leftrightarrow\text{ }\ln\left(y\right)=\ln\left(a\right)+n\cdot\ln\left(x\right)[/math][br]Trägt man nicht [i]y[/i] sondern ln([i]y[/i]) auf der vertikalen Achse auf und nicht [i]x[/i] sondern ln([i]x[/i]) auf der horizontalen Achse auf, ergibt sich folglich eine Gerade mit Steigung [i]n[/i] und y-Achsenabschnitt ln([i]a[/i]).[br][img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/03/LogPapierXYBeispiel.PNG[/img][br](Bild: Von Honina - Eigenes Werk, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=25097747)