Geogebra Institute of Salerno - Dipartimento di Matematica - Università degli Studi di Salerno[br][br]IPERBOLE, IPERBOLE TRASLATA, IPERBOLE EQUILATERA, IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AI PROPRI ASINTOTI, FUNZIONE OMOGRAFICA[br][br]Muovi il punto A, gli sliders a e b, visualizza il grafico dell'iperbole e dell'iperbole ruotata.

Nel caso in cui a=b, il rettangolo che utilizziamo per costruire il grafico dell'iperbole diventa un quadrato.[br]In questo caso l'iperbole si chiama [b]"equilatera riferita agli assi"[/b][br][math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^{^2}}{a^2}=1[/math][br][br]cioé[br][br][math]x^2-y^2=a^2[/math][br][br][br]Si chiama così (riferita agli assi), per distinguerla dall'iperbole[b] "equilatera riferita agli asintoti" [/b]che é quella che esprime la relazione di proporzionalità diretta tra x e y e che si ottiene da questa mediante una rotazione di 45° e che conosciamo fin dalla scuola media[br][br][math]y=\frac{k}{x}[/math]

Dall'iperbole equilatera riferita agli asintoti ([math]y=\frac{k}{x}[/math]) mediante una traslazione si ottiene un'iperbole che viene detta omografica di equazione [math]y=\frac{ax+b}{cx+d}[/math][br][br]In realtà bisogna controllare che essa rappresenti veramente un'iperbole, controllando che [math]c\ne0[/math] [br][br]infatti se c=0 l'equazione [math]y=\frac{ax+b}{d}[/math] rappresenta una retta[br]e inoltre anche il determinante dei coefficienti [math]ad-bc\ne0[/math] perchè se [math]ad=bc[/math] allora[math]\frac{a}{c}=\frac{b}{d}[/math][br]Se poniamo [math]\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=K[/math] dove K é una costante, da [math]\frac{a}{c}=K[/math] e [math]\frac{b}{d}=K[/math] segue che [math]a=Kc[/math] e [math]b=Kd[/math] e s sostituendo nell'equazione di partenza[br][math]y=\frac{Kcx+Kd}{cx+d}=\frac{K\left(cx+d\right)}{cx+d}=K[/math] che é l'equazione di una retta parallela all'asse x escludendo però il punto di ascissa [math]x=-\frac{d}{c}[/math] in cui la funzione non é definita per il C.E.[br][br]Perciò devo sempre controllare che [math]c\ne0[/math] e che [math]ad-bc\ne0[/math][br]in tal caso si tratta di un'iperbole omografica cioé di un'iperbole equilatera riferita agli asintoti traslata di un vettore di coordinate ([math]-\frac{d}{c}[/math],[math]\frac{a}{c}[/math]) che diventa il nuovo centro di simmetria.[br]Le equazioni degli asintoti perciò non sono più gli assi cartesiani ma le rette verticali e orizzontali passanti per il centro di simmetria [br][math]x=-\frac{d}{c}[/math] e [math]y=\frac{a}{c}[/math]