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Algebra

Georg Wengler

Inhalte zum Fundamentalsatz der Algebra

Lineare Algebra

1. Homogene Abbildungen
2. Affine 2D-Abbildung mit 3x3-Matrix
3. Affine Abbildung nicht kommutativ
4. Matrixgleichung einer Affinen Abbildung
5. Matrixgleichung aus zwei Tetraedern
6. Eigenwerte und Eigenvektoren
7. Homogene Affine Abbildung eines Kreises (EW,EV)
8. Gram-Schmidt-Verfahren
9. Orthogonalisierung nach Gram-Schmidt
10. LGS - Affine Abbildung - Kreis/Ellipse
11. LGS - Affine Abbildung - Quadrat/Parallelogramm
12. LGS - Affine Abbildung - Teilverhältnis
13. Implizite Gerade
14. Determinante mit Pythagoräischen Tripeln
15. Matrizen auf Objekt anwenden
16. Summe zweier Splines
17. Linearkombination zweier Splines
18. Minkowski-Summe und - Differenz zweier Vielecke
19. Minkowski-Summe und -Differenz
20. Merkregel für Kreuzprodukt
21. Linearkombination von Kreisgleichungen
22. Umrechnung: Kartesisch - Baryzentrisch
23. Analyse einer Quadratischen Form
24. Eliminationsverfahren nach Gauss
25. Affine Abb. (3x3-Matrix) durch zwei Tetraeder definiert
26. Aufgabe: Rechteck
27. Aufgabe: Rechteck mit Lösung
28. Diagonalisierung: Quadratische Form (Kegelschnitt)
29. Gleitspiegelung - affine Abbildung und Matrix (homogene KO)

Homogene Abbildungen

Matrizenform homogener Abbildungen

Matrizen

1. Elemente einer Matrix
2. Matrix-Potenz
3. OrthogonalMatrix
4. Magische 3x3-Matrizen
5. PASCAL-Matrix und Determinante
6. Matrix-Graph
7. Spezielle Matrizenmuster
8. Kronecker-Summe
9. Kronecker-Produkt
10. Parallelogramm affin auf Parallelogramm abbilden
11. Determinantengleichungen
12. QR-Zerlegung einer Matrix
13. Matrizen mit Pythagorischen Tripel
14. Kegelschnitt (5 Punkte): Determinantengleichung
15. Kronecker-Produkt und Summe
16. GGT-Matrix
17. Matrix-Potenz A³ = I
18. Matrix-Potenz A^4 = I
19. Flächeninhalt eines Vierecks mit Determinante
20. Matrix, Determinante und Diskriminante
21. Kegelschnitt: Determinantengleichung
22. Matrix-Multiplikation

Elemente einer Matrix

Strukturmathematik

1. Modularer Verband
2. Distributivgesetz
3. "Körper"-Struktur
4. n³-1= (n-1) (n(n+1)+1)
5. Spezielle Verknüpfungen
6. (a+b)² = (a-b)²+4ab
7. Isomorphie von Z/p²Z und (Z/pZ)x(Z/pZ)
8. a²-b²=(a+b)(a-b)
9. Logische Operationen
10. Binomische Formel

Modularer Verband

Die Struktur (M, Durchschnitt, Vereinigung) bildet einen Verband, wobei M die Potenzmenge von {A,B,C}.[br]Das zugehörige Diagramm ist hier zu sehen. Es kann die Drehung ein-/ausgeschaltet werden.[br]Wenn die Drehung schneller erfolgen soll, dann mit der Maus etwas anstupsen!

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

4.

Komplexe Zahlen

1. Linearer Term
2. kartesisch-polar
3. Rechnen mit komplexen Zahlen
4. Quadrieren und Radizieren - komplex
5. Komplexe Zahl suchen 1
6. Komplexe Zahl suchen 2
7. Lineare Gleichung mit komplexen Koeffizienten
8. Potenzen einer komplexen Zahl
9. Ähnlichkeit: Dreiecke mit komplexen Ecken

4.1.

Linearer Term

Linearer Term: kartesisch versus polar

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

5.

Quadratische Gleichung

1. Quadratischer Term
2. Quadratische Gleichung und Parameterraum
3. Komplexe Lösungen ax²+bx+c=0
4. Quadratische Funktion versus Lineare Funktion
5. Nullstellen 1 - Schnittlinien
6. Nullstellen sichtbar machen 1
7. Nullstellen 2b - Quadrat komplex abbilden
8. Nullstellen 3 - komplexe Koeffizienten
9. Nullstellen 4a - Satz von Vieta
10. Nullstellen 4b - Konstruktion Z.u.L.
11. Nullstellen 5a - Flächen im Raum
12. Nullstellen 5b - Betrag der komplexen Funktion
13. Nullstellen 5c - Höhenschichtlinien
14. Nullstellen 5d - Betrag und kotierte Projektion
15. Nullstellen 6 - Riemannsche Zahlenkugel
16. Komplexe Lösungen einer quadratischen Gleichung
17. Komplexe Lösungen einer quadratischen Gleichung
18. Komplexe Lösungen einer quadratischen Gleichung
19. Quadratische Gleichung
20. Aufgabe: Term gesucht
21. Quadrik
22. Sätze von Vieta für quadratische Gleichungen

5.1.

Quadratischer Term

Quadratischer Term: kartesisch versus polar

5.2.

5.3.

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5.19.

5.20.

5.21.

5.22.

6.

Gleichung höheren Grades

1. x³+px+q
2. Symmetrische Gleichung 3.Grades
3. Komplexe Polynomfunktion 3.Grades
4. Satz von Marden: reelle Koeffizienten
5. Komplexe Polynomfunktion 4.Grades
6. Komplexe Polynomfunktion 5.Grades
7. Kreisteilungsgleichung 1
8. Kreisteilungsgleichung 2
9. Kubische Gleichung
10. Aufgabe: Quadrat in Viertelbogen einschreiben
11. Methode von Lill
12. Tangente algebraisch formuliert
13. Solving general cubic in CAS
14. Cubic polynomial roots using symbolic solutions
15. Roots of a Cubic polynomial with complex coefficients computed using symbolic solutions
16. Roots of a cubic polynomial with complex coefficients computed using symbolic solutions
17. Quartic polynomial roots using symbolic solutions
18. Roots of a Quartic polynomial with complex coefficients computed using symbolic solutions
19. Die "einfache" 1-2-3-Aufgabe
20. Abgerundetes Quadrat
21. Sätze von Vieta für kubische Gleichungen
22. Sätze von Vieta für Polynom-Gleichungen

6.1.

x³+px+q

x³+px+q=0 ist eine Polynomgleichung 3.Grades.[br]Wählt man p und q als Variable, so erhält man für jedes x eine Gerade.[br]Diese Gerade als Schar gezeichnet liefert eine Einhüllende.[br]Punkte auf dieser Einhüllenden liefern Doppellösungen in[br]der kubischen Gleichung, die mit der Nullstelle der 1.Ableitung zusammenfällt.[br]Wählt man umgekehrt einen (p,q)-Punkt und zeichnet die Tangenten[br]an die Einhüllende, so stellen die Berührpunkte die Nullstellen der kubischen Gleichung dar.[br]Die Einhüllende grenzt jenen Bereich ab, wo es eine, zwei oder drei Nullstellen gibt.

6.2.

6.3.

6.4.

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6.6.

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6.19.

6.20.

6.21.

6.22.

7.

Komplexe Funktionen

1. Transformation mit komplexer Funktion
2. Möbius-Transformation
3. Komplexe Funktion
4. Newton Fraktal
5. Möbius-Abbildung
6. Komplexe Abbildung einer Geraden
7. Komplexe Abbildung eines Punktfeldes
8. Komplexe Abbildung eines Kreises
9. Komplexe Abbildung des Einheitskreises
10. Komplexe Abbildung eines Quadrats
11. Komplexe Abbildung eines allg.Vierecks
12. Komplexe Abbildung eines reg.Vielecks
13. Komplexe Funktion
14. Komplexe Funktion - Polarfärbung
15. Hauptsatz der Algebra
16. Exponentielle komplexe Funktion mit Tagesdaten
17. Exponentielle komplexe Funktion a,b,c
18. Exponentielle komplexe Funktion - Funktionsliste
19. Exponentielle komplexe Funktion - Edit
20. Gauss-Lucas-Theorem
21. x² + y² = 1 in C
22. FLOOR-Funktion von komplexen Zahlen
23. Floor(Sqrt(z)) =?= Floor(Sqrt(Floor(z)))
24. Kreistransformation mit z^n
25. Komplexe Funktion: f(z) = z^(z^(-1))
26. Komplexe Kreis-Transformation
27. z-Ebene <-> w-Ebene
28. Schwarz-Transformation
29. Komplexe Exponentialfunktion
30. Imaginärteil einer komplexen Exponentialfunktion
31. 3poliges Potential
32. Relativistische Addition
33. Realt- und Imaginärteil der Funktion f(z)=c/konj(z)
34. Komplexe Transformation eines Gitters
35. sin(Kreise) in C
36. Komplexe Abbildung eines Kegelschnitts
37. Komplexe Koordinatentransformation
38. Komplexe Transformationen
39. Bruchteil von komplexen Zahlen

7.1.

Transformation mit komplexer Funktion

Eine komplexe Funktion transformiert das kartesische Koordinatengitter.[br]Real- und Imaginärteil bilden gemäß Funktionsterm ein eigenes Gittersystem.

1) Rechne die Formelbatterie selber nach.[br]2) Beobachte wie der Gitterpunkt P abgebildet wird.[br]Analysiere damit das transformierte System.

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