Stellingen met continuïteit als voorwaarde
Max-min stelling of Extreme Waardenstelling (stelling van Weierstrass)
Als een functie continu is op een gesloten begrensd interval [a,b] dan bestaan er getallen p en q in [a,b] zodat voor alle x in [a,b]:[br][math]f(p)\leq f(x)\leq f(q)[/math].[br]Dus f heeft een absolute minimale waarde m=f(p) en een absolute maximale waarde M=f(q).
Tussenwaardestelling
Als f een continue functie is in het interval [a,b] en s is een getal tussen f(a) en f(b), dan bestaat er een getal c in [a,b] zodat f(c)=s
Vraag 1
Toon aan dat [math]f(x)=x^3+5x^2-4x-1[/math] minstens één nulpunt heeft in het interval [0,1]
Vraag 1 uitgelegd
Vraag 2
Gebruik de tussenwaardestelling om het bestaan van [math]\sqrt{2}[/math] aan te tonen
Vraag 3
Toon aan dat [math]f(x)=-x^4+2x^3+2[/math] minstens 2 nulpunten heeft.
Vraag 4
Toon aan dat de vergelijking sin(nx)=cos(x) voor elke natuurlijk getal n een oplossing heeft in het [math][0,\pi][/math]