Como você já viu nas aulas a definição formal de convergência de sequências envolve o uso de épsilon e a determinação de um índice [math]n_0[/math], o que geralmente é bastante confuso. Vamos tentar descomplicar isso![br][br]A definição formal é a seguinte:[br][br][b]Definição: [/b]Dizemos que uma sequência [math]\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math] é convergente se para qualquer número [math]\varepsilon>0[/math] existir um número real [math]a[/math] e um índice [math]n_0\in\mathbb{N}[/math] tais que[br][br][math]n\ge n_0\quad\Rightarrow\quad\left|x_n-a\right|<\varepsilon[/math][br][br]Neste caso, diremos que [math]a[/math] é o limite de [math]\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math] e escrevemos [math]a=\lim_{n\rightarrow\infty}x_n[/math] ou [math]x_n\rightarrow a[/math], quando [math]n\rightarrow\infty[/math][math]n\rightarrow\infty[/math].[br][br]Essa definição pode parecer confusa, mas quer dizer simplesmente que se o limite existir, não importa quão pequena seja a vizinhança deste limite (no caso o limite é [math]a[/math]), vai sempre existir um certo índice (no caso o [math]n_0[/math]) a partir do qual todos os elementos da sequência vão estar nessa vizinhança do limite, ou seja, a sequência vai ficando cada vez mais próxima do limite.[br][br]Vamos ver o que isso significa com um exemplo e sua representação geométrica.[br][br][b]Exemplo: [/b]Considere a sequência [math]\left\{x_n\right\}=\left\{\frac{1}{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}-\left\{0\right\}}[/math].[br][br]Você já deve imaginar que quando o valor de [math]n[/math] crescer o valor da fração [math]\frac{1}{n}[/math] vai diminuindo. Até consegue concluir com seus conhecimentos de Análise que o limite é 0. Mas como verificar isso formalmente???[br][br]Veja o applet a seguir, que vai determinando os pontos da sequência na reta real conforme varia o valor de [math]n[/math]. Escolha um [math]\varepsilon>0[/math] deslizando o controle do [math]\varepsilon[/math], isso vai gerar uma vizinhança (em vermelho) próxima do zero (você pode escolher um valor bem pequeno, já que a definição diz que tem que valer pra qualquer valor positivo que você escolher). Depois disso faça o valor de [math]n[/math] aumentar até que os ponto da sequência comecem a cair dentro do intervalo [math]\left(-\varepsilon,+\varepsilon\right)[/math]. Talvez seja necessário aumentar o valor máximo de n. Eu predefini que fosse 100, mas você pode aumentar o quanto for preciso. No momento em que os termos começarem a ficar dentro do intervalo acima quer dizer que a condição da definição está sendo satisfeita e você encontrou o valor do [math]n_0[/math] (claro que esse valor vai mudar dependendo do valor que você escolher para [math]\varepsilon[/math]). [br][br]

Por exemplo, para o [math]\varepsilon[/math] dado inicialmente ([math]\varepsilon=0.05751[/math]) qual deverá ser o valor mínimo de [math]n_0[/math], para que a partir desse valor todos os termos da sequência estejam no intervalo em vermelho? Basta movimentar o controle deslizante do [math]n[/math], e você verá que a partir de [math]n_0=18[/math], todos os termos ([math]x_{18},x_{19},x_{20},\ldots[/math]) estarão dentro do intervalo vermelho.[br][br][b][color=#0000ff]Dica: Você pode dar zoom para ver melhor![/color][/b]