Inversions échangeant deux cercles extérieurs l'un à l'autre Soit (c), (c’) deux cercles non sécants, de centres O et O’ ; Δ leur axe radical. Une inversion de centre I échange les cercles (c) et (c’). Un point M de (c) a pour image M’, intersection bien choisie de (IM) et de (c’). Soit N et N’ un autre couple de points inverses tel que N ne soit pas sur (IM).

Les quatre points M, M’, N et N’ sont sur un même cercle (γ). (γ) est globalement invariant par l'inversion. Les droites (MN) et (M’N’) sont concourantes en un point P situé sur l'axe radical Δ. P est le centre radical des cercles (c), (c’) et (γ). Réciproquement, n'importe quel cercle (γ) passant par M et M’ recoupe (c) et (c’) en deux points N et N’ inverses l'un de l'autre. Les droites joignant un point P de l'axe radical aux points M et M’ recoupe (c) et (c’) en deux points N et N’ inverses l'un de l'autre. Descartes et les Mathématiques : inversion de cercles