Beispielaufgabe[br][math]g_1:\vec{x}=\left(\begin{matrix}4\\5\\3\end{matrix}\right)+t\left(\begin{matrix}1\\2\\1\end{matrix}\right)[/math] und [math]g_2:\vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)+l\left(\begin{matrix}-1\\2\\0\end{matrix}\right)[/math] mit [math]\vec{x}=\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)[/math][br][br]Zur Lösung errichte ich eine Ebene E1 aus einer Geraden, ergänzt um den Richtungsvektor der anderen Geraden. Die Ebene E1 stelle ich in der Hesse'schen Normalengleichung dar. Den Abstand erhalte ich durch Einsetzen eines Punktes (der Einfachkeit halber den Ortsvektor) der anderen Geraden.

[math]g_1:\vec{x}=\vec{O_1+t\cdot\vec{r_1}}[/math] und [math]g_2:\vec{x}=\vec{O_2+s\cdot\vec{r_2}}[/math][br][math]\vec{n}=\vec{r_1\times\vec{r_2}}[/math][br][math]d=\frac{\vec{n}}{\sqrt[]{\vec{n}^2}}\left(\vec{O_2}-\vec{O_1}\right)[/math][br][br][url=https://hawehofmann.files.wordpress.com/2017/05/geogebracas_beispiele2.pdf][icon]/images/ggb/toolbar/mode_tool.png[/icon]Alle Aufgabenschritte mit Erklärungen[br][/url]

(1) Beschreibe Gerade [color=#1155Cc]g_1(t):=(4, 5, 3) + t (1, 2, 1)[/color][br](2) Beschreibe Gerade [color=#1155Cc]g_2(l):=(1,-2,2)+l*(-1,2,0)[/color][br](3) Verwende die Geradenfunktionen zur Darstellung der Richtungsvektoren [br](4) r[sub]1[/sub] [math]\in[/math] g[sub]1[/sub]: [color=#1155Cc]r_1:=g_1(1)-g_1(0)[/color][br](5) r[sub]2[/sub] [math]\in[/math] g[sub]2[/sub]: [color=#1155Cc]r_2:=g_2(1)-g_2(0)[/color] sowie des [br](6) Ortsvektors O[sub]1[/sub] [math]\in[/math] g[sub]1[/sub]: [color=#1155Cc]O_1:=g_1(0)[/color][br](7) Bestimme Normalenvektor zu beiden Geraden [color=#1155Cc]n:=(Kreuzprodukt(r_1,r_2))[/color][br][br]Vektorkette[br]Gehe vom einen Punkt P[sub]1[/sub] [math]\in[/math] g[sub]1[/sub] mit n senkrecht auf einen P[sub]2[/sub] [math]\in[/math] g[sub]2[/sub]. [br]P[sub]1[/sub] = g[sub]1[/sub](t1), P[sub]2[/sub] = g2(t2)[br][br](8) [color=#1155Cc]g_1(t1) + t*n = g_2(t2)[/color][br](9) [color=#1155Cc]Löse[{$8},{t1, t, t2}][/color][br](10) [color=#1155Cc]Lotvektor:=Ersetze[ t n , $9 ][/color][br](11) [color=#1155Cc]d=sqrt(Lotvektor²)[/color][br][br]Senkrechte Ebenen[br]Errichte E1 senkrechte Ebene zu g1 und E2 senkrechte Ebene zu g2[br]Schnittpunkt P1 von E2 x g1 und Schnittpunkt P2 von E1 x g2 sind Lotpunkte[br][br](8) [color=#1155Cc]E1(x,y,z):=Kreuzprodukt[n, r_1]*((x,y,z) - g_1(0))[/color][br](9) [color=#1155Cc]E2(x,y,z):=Kreuzprodukt[n, r_2]*((x,y,z) - g_2(0))[/color][br][color=#444444]evtl Ebenen zeichnen E_1:=E1(x,y,z)=0 und E_2:=E2(x,y,z)=0[/color][br](10) [color=#1155Cc]P_1:=Ersetze(g_1(t) , Löse(E2(x(g_1(t)) , y(g_1(t)) , z(g_1(t))  ) , t ) )[/color][br](11) [color=#1155Cc]P_2:=Ersetze(g_2(t) , Löse(E1(x(g_2(t)) , y(g_2(t)) , z(g_2(t))  ) , t ) )[/color][br](12) [color=#1155Cc]d=sqrt((P_1-P_2)^2)[/color]