[b]Definition[/b][br][i]Sei X eine nichtleere Menge. [br]Eine Funktion d: [/i][math]X \times X \rightarrow \mathbf{R}[/math][i] heißt [b]Metrik [/b]oder [b]Abstand [/b]auf X, wenn gilt:[br](1) Positive Definitheit: [/i][math]d(x,y)\ge 0[/math][i] für alle [/i][math]x,y \in X[/math][i] und [/i][math]d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y[/math][i][br](2) Symmetrie: [/i][math]d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right)[/math][i][br](3) Dreiecksungleichung: [/i][math]d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)[/math][i] für alle [/i][math]x,y,z \in X[/math][i][br][br]Man nennt [b](X,d)[/b] einen [b]metrischen Raum[/b].[/i][br]

Auf einer Menge X gibt es verschiedene Metriken. Einige der wichtigsten sind:[br][list][*]Betragsmetrik: [math]d(x,y) = \sum_{i=1}^{n}{\left| x_i - y_i \right|}[/math][/*][*]Euklidische Metrik: [math]d(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}{\left( x_i - y_i \right)^2} }[/math] [/*][*]Maximumsmetrik: [math]d(x,y) = \max \{ \left| x_i - y_i \right| | i \in \{1,2, ..., n \} \} [/math][/*][/list][br][i]Hinweis: x und y sind in dieser Notation Elemente der Menge X und nicht Koordinaten enes Punktes. Die Koordinaten werden mit x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub] usw. bezeichnet.[/i][br][br][b]Aufgabe[/b][br]Bewege den [color=#0000ff][b]Punkt P[/b][/color] und beobachte den Abstand des Punktes P von O(0,0).[br][br]Die dargestellten Figuren bzw. Körper sind die [b]Einheitskreise [/b]bzw. [b]Einheitskugeln [/b]im [math]\mathbb{R}^2[/math] bzw. [math]\mathbb{R}^3[/math] bezüglich der verwendeten Metrik.