Taller de funcions
[b]Aplicacions bàsiques del GeoGebra. Les funcions VIII Jornades de GeoGebra[/b] [b]Pep Bujosa[/b]
Table of Contents
- Nocions bàsiques
- Representacions gràfiques
- Objectius d'aquest taller
- Els punts lliscants
- Moure per aprendre
- Com?
- Exercicis
- Menú de funcions
- Col·lecció de funcions
- Com?
- Exercicis
- Punts sobre la gràfica
- Pendent i ordenada a l'origen
- Contínua o discontínua
- Com?
- Exercicis
- Gràfica i fórmula
- Formes d'expressió
- Rectes
- Com?
- Paràboles
- Exercicis
- Definides a trossos
- Definició
- Contínua o no?
- Exercicis
- La derivada
- Les rectes tangents
- Observa més activitats
Representacions gràfiques
El GeoGebra també serveix per representar gràficament funcions, així com per estudiar el seu comportament a partir d'uns paràmetres o de la seva derivada.[br][br]Per representar gràficament una funció, n’hi ha prou en introduir la seva expressió algebraica[br]en la zona d’entrada. Entreu, per exemple:[br] [br]f(x)=x^2-3x+1, g(x)=1/x, h(x)=sin(x),i(x)= exp(x) ... etc.[br] [br]De fet, no cal escriure el nom de la funció (f(x), g(x), etc.). Amb l’expressió n’hi ha prou.[br] [br]Podeu també arrossegar les gràfiques i veureu com va canviant la seva expressió gràfica a[br]la finestra algebraica. Per altra banda, podeu modificar la seva fórmula i[br]automàticament es modificarà la seva gràfica.[br] [br]
Moure per aprendre
El moviment dels objectes és la principal característica del GeoGebra. Gràcies a aquests arrossegaments i canvis, l'usuari pot observar determinades propietats que, més tard, pot formalitzar.[br][br]Una de les eines que permet controlar millor aquests moviments, sobretot en el cas de les funcions, són els punts lliscants.
Mou els punts lliscants i observa el que passa.
Col·lecció de funcions
Algunes vegades pot ser útil tenir una sèrie de funcions ja preparades per estudiar les seves característiques o per comparar-les. Gràcies al full de càlcul del GeoGebra podem tenir apunt col·leccions de funcions pels que faci falta.
Si moveu el punt lliscant de la part superior, us aniran apareixent els diferents exemples de funcions polinòmiques.
Pendent i ordenada a l'origen
Què compleixen les coordenades dels punts que estan sobre la recta? Com es pot mesurar el seu pendent? Què ens indica el terme independent? Activa les caaselles de control quan et convingui.
Formes d'expressió
Una funció es pot expressar de diferents maneres: un enunciat, una taula, una fórmula o una gràfica. Totes aquestes formes són importants i el saber passar d'una a l'altra és ben interessant per comprendre el concepte de funció.[br][br]En aquest capítol veurem com treballar el pont entre la gràfica i la fórmula, amb tots dos sentits, fent servir el GeoGebra.
[size=150][b]Quan l'atzar intervé[/b][/size][br][br]El GeoGebra té un comandament que genera nombres aleatoris. La seva sintaxi és AleatoriEntre[ <Mínim enter>, <Màxim enter> ][br][br]D'aquesta manera podem generar nombres enters entre dos valors donats. Si [br]l'utilitzem de manera convenient per fer variar els paràmetres de [br]funcions senzilles, podem obtenir o bé fórmules o bé gràfiques més o [br]menys aleatòries per tal que l'alumnat les identifiqui i l'expressi de [br]l'altra manera.
Definició
Amb el GeoGebra, podem representar una funció definida a trossos fent servir l'estructura d'un condicional.[br][br]Per exemple:
Per introduir aquesta funció, cal escriure:[br][br]f(x)= si[x<1, x^2, 2x - 3][br][br][list][*]Prova de representar-ne d'altres i observa els resultats.[br][/*][/list]
Les rectes tangents
Mou el pùnt lliscant i prova les diferents caselles. Què s'està dibuixant?
[br][br]El GeoGebra té un procediment molt ràpid per dibuixar rectes tangents. Això fa que es pugui visualitzar fàcilment el concepte de derivada.[br][br][list][*]Entreu l’expressió f(x) = x³ - 3 x² + 2 .[/*][*]Entreu ara f'(x).[/*][*]Ja teniu dibuixades la funció f i la seva derivada. Si voleu, podeu donar diferents colors a les seves gràfiques.[/*][*]Canvieu la funció f(x), des de la finestra algebraica o bé entrant directament una nova fórmula f(x) = ....[/*][*]A continuació, seguint les instruccions següents, podreu dissenyar una activitat per introduir el concepte de derivada en un punt i de funció derivada.[/*][*]Entreu la fórmula de la funció que farem servir per treballar el concepte de funció derivada: f(x) = x³ / 3 - x² + 4 (És clar que en podeu entrar qualsevol altra!)[/*][/list][list][*]Per evitar moviments accidentals d’aquesta gràfica, feu-hi clic damunt amb el botó dret del ratolí per accedir a les Propietats. Trieu [i]Bàsic[/i] i activeu l’opció [i]Fixa objecte[/i]. D’aquesta manera, aquesta gràfica restarà fixa.[/*][*]Amb l’eina [i]Punt nou[/i] fixeu un punt A sobre l’eix d’abscisses.[/*][*]Entreu el punt (x(A),f(x(A))) que quedarà situat sobre la gràfica. És el punt B.[/*][*]Entreu la comanda tangent[B,f]. Observeu que s’ha dibuixat, directament, la recta tangent a la gràfica de f(x) que passa per B.[/*][*]Entreu el comandament Pendent[a], on a és el nom de la recta tangent (comproveu que és així obrint la finestra algebraica i després torneu-la a tancar). Observeu que s’ha dibuixat un triangle petit que ens indica el pendent de la recta tangent a la corba en el punt B. Heu de fer que les etiquetes d’aquest objecte siguin visibles amb Nom i Valor.[/*][*]Moveu el punt A i observeu com el pendent va variant.[/*][*]Dibuixeu el segment AB i feu que es vegi amb una línia discontínua.[/*][*]A continuació definireu el punt P a partir de la definició de derivada.[/*][*]Entreu la definició del punt P com P = (x(A), b), on x(A) és la primera coordenada del punt A i b és el pendent de la recta tangent en A. Ja veieu que estem fent servir la definició de derivada en un punt.[/*][*]Cliqueu amb el botó dret del ratolí sobre el punt P i accediu a l’opció Propietats. Ara, podeu canviar el color del punt i, sobretot, heu d’activar l’opció Activa el traç. D’aquesta manera quan el punt B es mourà, deixarà una traçada que serà la funció derivada.[/*][*]Acabeu amb Aplica.[/*][*]Triant l’eina corresponent, desplaceu el punt A i observeu què es va dibuixant. És la funció derivada? Per comprovar-ho:[/*][/list][list][*]Entreu la comanda g(x) = f’(x).[/*][*]Observeu que s’ha creat a la finestra algebraica la funció g(x) que és la derivada de la funció f(x). També ja es veu la gràfica de g(x), és a dir, de f’(x).[/*][*]Fent clic sobre aquesta gràfica amb el botó dret podeu accedir a Propietats i canviar-ne el color i l’estil.[/*][*]Desplaceu el punt A i observeu com la traçada del punt coincideix amb la gràfica de la funció derivada.[/*][*]Introduïu la Casella de verificació per mostrar o amagar la gràfica de la derivada.[br]Per esborrar el traç podeu prémer Ctrl-F.[br][/*][/list]